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Les cas les plus simples du calcul différentiel

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Geometry

Voyons comment, sur les premiers principes, nous pouvons différencier une expression algébrique simple.

Cas 1.

Commençons par l’expression simple y = x2. Maintenant, rappelez-vous que la notion fondamentale sur le calcul est l’idée de croissance. Les mathématiciens l’appellent variant. Maintenant que y et x2 sont égaux l’un à l’autre, il est clair que si x grandit, x2 augmentera également. Et si x2 grandit, alors y augmentera aussi. Ce que nous devons découvrir, c’est la proportion entre la croissance de y et la croissance de x. En d’autres termes, notre tâche consiste à trouver le rapport entre dy et dx, ou, en bref, trouver la valeur de dy/dx.

Soit x, augmenter un peu plus grand et devenir x + dx; de manière similaire, y va augmenter un peu plus et deviendra y + dy. Ensuite, clairement, il sera toujours vrai que l’y agrandi sera égal au carré de l’élargi x. En écrivant ceci, nous avons:

y + dy = (x + dx)2.

En réalisant la quadrature nous obtenons:

y + dy = x2 + 2x · dx + (dx)2.

Que signifie (dx)2? Rappelez-vous que dx signifiait un peu – un peu de x. Alors (dx)2 signifie un peu – un petit peu – de x; c’est-à-dire,c’est une petite quantité du second ordre de la petitesse. Il peut donc être écarté comme tout à fait négligeable par rapport aux autres termes En le négligeant, nous avons alors:

y + dy = x2 + 2x · dx.

Maintenant y = x2; alors, soustrayons ceci de l’équation et nous avons laissé

dy = 2x dx.

En divisant par dx, nous trouvons

dy/dx = 2x.

[Ce rapport dy/dx est le résultat de la différenciation de y par rapport à x. Différencier signifie trouver le coefficient différentiel. Supposons que nous ayons une autre fonction de x, comme, par exemple, u = 7x2 + 3. Ensuite, si l’on nous a dit de différencier cela par rapport à x, nous devrions avoir à trouver du/dx ou, ce qu’il y a de même, d(7x2 + 3)/dx D’autre part, nous pouvons avoir un cas dans lequel le temps était la variable indépendante, comme y = b + at2/2. Ensuite, si on nous a dit de le différencier, cela signifie que nous devons trouver son coefficient différentiel par rapport à t. Donc, alors, notre affaire serait d’essayer de trouver dy/dt, c’est-à-dire de trouver d(b + at2/2)/dt.]

Maintenant, c’est ce que nous avons décidé de trouver. Le rapport de la croissance de y à la croissance de x est, dans le cas qui nous occupe, 2x.

Exemple numérique.

Supposons x = 100 et y = 10.000. Ensuite, laisser x croître jusqu’à ce qu’il devienne 101 (c’est-à-dire, dx = 1). Ensuite, l’y élargi sera 101 x 101 = 10.201. Mais si nous acceptons d’ignorer les petites quantités du second ordre, 1 peut être rejeté par rapport à 10.000; afin que nous puissions arrondir l’y élargi à 10.200. y est passé de 10.000 à 10.200; le bit ajouté est dy, qui est donc 200.

dy/dx = 200/1 = 200. Selon le fonctionnement de l’algèbre, nous trouvons dy/dx = 2x. Et c’est comme ça; pour x = 100 et 2x = 200.

Mais, vous pouvez dire, nous avons négligé une unité entière.

Eh bien, réessayez, en faisant dx un bit encore plus petit.

Essayez dx = 1/10. Alors x + dx = 100,1, et

(x + dx)2 = 100,1 x 100,1 = 10,020,01.

Maintenant, le dernier chiffre 1 n’est qu’une milliardième partie des 10.000, et est tout à fait négligeable; donc nous pouvons prendre 10.020 sans la petite décimale à la fin.

Et cela fait dy = 20; et dy/dx = 20/0,1 = 200, qui est toujours le même que 2x.

Cas 2.

Essayez de différencier y = x3 de la même manière.

Nous laissons y grandir à y + dy, tandis que x croît à x + dx. Ensuite, nous avons

y + dy = (x + dx)3.

En faisant le cubage nous obtenons

y + dy = x3 + 3x2·dx + 3x(dx)2+ (dx)3.

Maintenant, nous savons que nous pouvons négliger de petites quantités des deuxième et troisième ordres; puisque, lorsque dy et dx sont tous deux indéfiniment petits, (dx)2 et (dx)3 deviendront indéfiniment plus petits par comparaison. Donc, les considérant comme négligeables, nous sommes restés: y + dy = x3 + 3x2·dx.

Mais  y = x3; et en soustrayant ça, nous avons

dy = 3x2·dx

dy/dx = 3x2

Cas 3.

Essayez de différencier y = x4. Commençant comme précédemment en laissant croître un peu y et x, nous avons:

y + dy = (x + dx)4

En procédant à la levée de la quatrième puissance, nous obtenons

y + dy = x4 + 4x3dx + 6x2 (dx)2 + 4x(dx)3 + (dx)4

Puis, en éliminant les termes contenant toutes les puissances supérieures de dx, étant négligeables par comparaison, nous avons

y = x4 + 4x3dx.

En soustrayant l’original y = x4, nous avons laissé

dy = 4x3dx

dy/dx = 4x3

Maintenant, tous ces cas sont assez faciles. Laissez-nous collecter les résultats pour voir si nous pouvons déduire une règle générale. Mettez-les en deux colonnes, les valeurs de y en une et les valeurs correspondantes trouvées pour dy/dx dans l’autre: ainsi

  • y >>> dy/dx
  • x2 >>> 2x
  • x3 >>> 2x2
  • x4 >>> 4x3

Il suffit de regarder ces résultats: l’opération de différenciation semble avoir eu pour effet de diminuer la puissance de x par 1 (par exemple dans le dernier cas, réduisant x4 à x3) et en même temps en multipliant par un nombre (le même nombre en fait qui apparait à l’origine comme la puissance). Maintenant, lorsque vous avez déjà vu cela, vous pouvez facilement conjecturer comment les autres fonctionneront. Vous vous attendez à ce que la différentiation de x5 donne 5x4, ou la différence entre x6 donne 6x5. Si vous hésitez, essayez l’un de ces éléments, et voyez si la conjecture vient bien.

Essayons y = x5.

Alors

y + dy = (x + dx)5 = x5 + 5x4dx +10x3(dx)2 + 10x2(dx)3 + 5x(dx)4 + (dx)5.

En négligeant tous les termes contenant de petites quantités d’ordres supérieures, donne

y + dy = x5 + 5x4dx,

Et en soustrayant y = x5 nous donne

dy = 5x4dx

dy/dx = 5x4

En suivant logiquement notre observation, nous devrions conclure que si nous voulons faire face à toute puissance supérieure, nous allons le faire de la même manière.

Soit

y = xn

Alors, nous devrions nous attendre à ce que

dy/dx = nx(n-l).

Par exemple, soit n = 8, alors y = x8. Et en différenciant, cela donnerait dy/dx = 8x7.

Et, en effet, la règle selon laquelle la différenciation de xn donne comme résultat nx(n-1) est vrai pour tous les cas où n est un nombre entier et positif. [L’expansion de (x + dx)n par le théorème binomial montrera à la fois cela.] Mais la question de savoir s’il est vrai pour les cas où n a des valeurs négatives ou fractionnelles doit être examinée plus avant.

Cas d’une puissance négative

Soit y = x-2. Ensuite, procédez comme précédemment:

y + dy = (x + dx)2 = x-2(1 + x/dx)-2

En l’élargissant par le théorème binomial, nous obtenons

= x-2 [1 – 2dx/x + (2(2+1)/1·2)(dx/x)2 – etc.] = x-2 – 2x-3·dx + 3x-4(dx)2 – 4x-5(dx)3 + etc.

Ainsi, en négligeant les petites quantités d’ordre supérieur de petitesse, nous avons:

y + dy = x-2 – 2x-3·dx.

En soustrayant l’original y = x-2, on trouve

dy = – 2x-3·dx

dy/dx = – 2x-3

Et cela est toujours conforme à la règle déduite ci-dessus.

Cas d’une fraction de puissance

Soit y = x1/2. Alors, comme précédemment,

y + dy = (x + dx)1/2 = x1/2(1 + dx/x)1/2 = √x + (1/2)(dx/√x) – (1/8)((dx)2/x√x) + termes avec la puissances de dx plus haut.

En soustrayant l’original y = x1/2, et en négligeant les pouvoirs supérieurs, nous donne:

dy = (1/2)(dx/√x) = (1/2)x-1/2·dx

dy/dx = (1/2)x-1/2

Et cela correspond à la règle générale.

Résumé. Voyons à quel point nous avons eu. Nous sommes arrivés à la règle suivante: Pour différencier xn, multipliez-le par le pouvoir et réduisez le pouvoir par un, ce qui nous donne nx(n-1) comme résultat.

Exercices 1.

(Voir page pour Réponses.)

Différenciez ce qui suit:

(1) y =x13

(2) y =x-3/2

(3) y =x2a

(4) u = t2·4

(5) z = 3√u

(6) y = 3√x-5

(7) u = 5√(1/x8)

(8) y =2xa

(9) y = q√x3

(10) y = n√(1/xm)

Vous avez maintenant appris comment différencier les «puissances de x». Comme c’est facile!

Traduit par Nicolae Sfetcu de «Calculus Made Easy», par Silvanus Thompson

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