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Sur les croissances relatives dans les calculs différentiel

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Toutes par le calcul, nous avons affaire à des quantités qui augmentent et à des taux de croissance. Nous classons toutes les quantités en deux classes: constantes et variables. Ceux que nous considérons comme de valeur fixe, et nous les appelons constantes, nous désignons généralement par des lettres du début de l’alphabet, telles que a, b ou c; tandis que ceux que nous considérons comme capables de croître, ou (comme les mathématiciens disent) des «variables», nous les appelons par des lettres de la fin de l’alphabet, telles que x, y, z, v, w ou parfois t. De plus, nous traitons habituellement plus d’une variable à la fois, et nous pensons à la manière dont une variable dépend de l’autre: par exemple, nous pensons à la manière dont la hauteur atteint par un projectile dépend du temps d’atteindre cette hauteur. Ou, on nous demande de considérer un rectangle de zone donnée et de nous demander comment une augmentation de la longueur de celui-ci entraînera une diminution correspondante de la largeur de celui-ci. Ou, nous pensons à la façon dont toute variation dans la pente d’une échelle entraînera une variation de la hauteur.

Supposons que nous ayons deux variables de ce genre qui dépendent l’une de l’autre. Une altération en une entraînera une altération dans l’autre, en raison de cette dépendance. Laissez-nous appeler l’une des variables x, et l’autre qui dépend d’elle y. Supposons que nous faisons que x varie, c’est-à-dire que nous l’alterons ou l’imaginons être modifiés, en y ajoutant un peu que nous appelons dx. Nous causons donc x devenir x + dx. Ensuite, parce que x a été modifié, y aura également changé, et deviendra y + dy. Ici, le bit dy peut être dans certains cas positif, dans d’autres négatif; et il ne sera pas (sauf très rarement) de la même taille que dx.

Prenez deux exemples.

triangle à angle droit Fig. 4.

(1) Soit x et y respectivement la base et la hauteur d’un triangle à angle droit (Fig. 4), dont la pente de l’autre côté est fixée à 30°. Si nous supposons que ce triangle s’élargit et qu’il reste ses angles identiques à ceux d’abord, alors, lorsque la base croît de manière à devenir x + dx, la hauteur devient y + dy.

Ici, l’augmentation de x entraîne une augmentation de y. Le petit triangle, dont la hauteur est dy, et dont la base est dx, est similaire au triangle d’origine; Et il est évident que la valeur du rapport dy/dx est la même que celle du ratio y/x. Comme l’angle est de 30°, on verra qu’ici

dy/dx = 1/1,73

une échelle Fig. 5.

(2) Soit x représenter, à la Fig. 5, la distance horizontale, d’un mur, de l’extrémité inférieure d’une échelle, AB, de longueur fixe; et y soit la hauteur avec qu’il atteigne le mur. Maintenant, il dépend clairement de x.

Il est facile de voir que, si on tire l’extrémité inférieure A un peu plus loin du mur, l’extrémité supérieure B descendra un peu plus bas. Disons cela en langage scientifique. Si nous augmentons x à x + dx, alors y deviendra y – dy; C’est-à-dire lorsque x reçoit un accroissement positif, l’augmentation qui résulte de y est négative.

Oui, mais combien? Supposons que l’échelle était si longue que lorsque l’extrémité inférieure A se trouvait à 19 pouces de la paroi, l’extrémité supérieure B atteignait seulement 15 pieds du sol. Maintenant, si vous deviez tirer l’extrémité inférieure 1 pouce de plus, combien la partie supérieure serait-elle descendue? Mettez tout en pouces: x = 19 pouces, y = 180 pouces. Maintenant, l’incrément de x que nous appelons dx est de 1 pouce: ou x + dx = 20 pouces.

Combien va-t-il diminuer? La nouvelle hauteur sera y – dy. Si nous déterminons la hauteur par Euclide I.47 (Euclid’s Elements, Book I, Proposition 47), nous devrions pouvoir trouver combien dy sera. La longueur de l’échelle est

√((180)2 + (19)2) = 1812 pouces.

De toute évidence, la nouvelle hauteur, qui est y – dy, sera telle que

(y -dy)2 = (181)2 – (20)2 = 32761 – 400 = 32361,

y – dy = √32.361 = l79,89 pouces.

Maintenant y est 180, de sorte que dy soit 180 – 179,89 = 0,11 pouces.

Nous voyons donc que faire une augmentation de dx de 1 pouce a entraîné une diminution de dy de 0,11 pouces.

Et le rapport de dy à dx peut être indiqué ainsi:

dy/dx = – 0,11/1

Il est également facile de voir que (sauf dans une position particulière) dy sera d’une taille différente de dx.

Maintenant, à travers le calcul différentiel, nous chassons, chassons, chassons une chose curieuse, une simple rapport, à savoir, la proportion que dy porte à dx lorsque les deux sont indéfiniment faibles.

Il convient de noter ici que nous ne pouvons trouver seulement ce rapport dy/dx quand y et x sont liés l’un à l’autre en quelque sorte, de sorte que chaque fois que x varie y varie aussi. Par exemple, dans le premier exemple que l’on vient de prendre, si la base x du triangle est plus longue, la hauteur y du triangle devient également plus grande et, dans le second exemple, si la distance x du pied de l’échelle de la paroi est augmentée, la hauteur atteinte par l’échelle diminue de manière correspondante, lentement au début, mais de plus en plus rapidement lorsque x devient plus grand. Dans les cas réels, la relation entre x et y est parfaitement définie, elle peut être exprimée mathématiquement, étant y/x = tan 30° et x2 + y2 = l2 (où l est la longueur de l’échelle), et dy/dx a la signification que nous avons trouvée dans chaque cas.

Si, tandis que x est, comme précédemment, la distance du pied de l’échelle du mur, y est, au lieu de la hauteur atteinte, la longueur horizontale de la paroi, ou le nombre de briques, ou le nombre des années écoulées depuis sa construction, tout changement de x ne provoquerait naturellement aucun changement de y; dans ce cas dy/dx n’a aucun sens, et il n’est pas possible de trouver une expression pour elle. Chaque fois que nous utilisons des différentiels dx, dy, dz, etc., l’existence d’un type de relation de quelque sorte entre x, y, z, etc., est implicite, et cette relation est appelée « fonction » dans x, y, z, etc. Les deux expressions données ci-dessus, par exemple, y/x = tan 30° et x2 + y2 = l2, sont des fonctions de x et y.

De telles expressions contiennent implicitement (c’est-à-dire qu’elles contiennent sans la montrer clairement) les moyens d’exprimer soit x en termes de y ou y en termes de x, et pour cette raison on les appelle des fonctions implicites dans x et y; ils peuvent être respectivement placés dans les formes

y = x tan 30° ou x = – y tan 30°

et

y = √(l2 – x2) ou x = √(l2 – y2).

Ces dernières expressions déclarent explicitement (c’est-à-dire, de manière discrète) la valeur de x en termes de y, ou de y en termes de x, et sont pour cette raison appelés fonctions explicites de x ou y. Par exemple, x2 + 3 = 2y-7 est une fonction implicite dans x et y; il peut être écrit y = (x2 + 10)/2 (fonction explicite de x) ou x = √(2y -10) (fonction explicite de y). Nous voyons qu’une fonction explicite dans x, y, z, etc., est simplement quelque chose dont la valeur change quand x, y, z, etc., ai: e change, soit une à la fois, soit plusieurs ensemble. Pour cette raison, la valeur de la fonction explicite s’appelle la variable dépendante, car elle dépend de la valeur des autres grandeurs variables dans la fonction; les autres variables sont appelées variables indépendantes car leur valeur n’est pas déterminée à partir de la valeur assumée par la fonction. Par exemple, si u = x2 sin Θ, x et Θ sont les variables indépendantes, et u est la variable dépendante.

Parfois, la relation exacte entre plusieurs quantités x, y, z n’est pas connue ou il n’est pas commode de l’indiquer; il est seulement connu, ou convenient à déclarer, qu’il existe une sorte de relation entre ces variables, de sorte qu’on ne peut pas altérer soit x ou y ou z sans affecter les autres quantités; l’existence d’une fonction dans x, y, z est alors indiquée par la notation F(x, y, z) (fonction implicite) ou par x = F(y, z), y = F(x, z) ou Z = F(x, y) (fonction explicite). Parfois, la lettre f ou ϕ est utilisée au lieu de F, de sorte que y = F(x), y = f(x) et y = ϕ(x) signifient tous la même chose, à savoir que la valeur de y dépend de la valeur de x d’une manière qui n’est pas indiquée.

Nous appelons le rapport dy/dx « le coefficient différentiel de y par rapport à x« . C’est un nom scientifique solennel pour cette chose très simple. Mais nous ne serons pas effrayés par des noms solennels, quand les choses elles-mêmes sont si faciles. Au lieu d’être effrayés, nous allons simplement prononcer une brève malédiction sur la stupidité de donner de longs noms de craquelins; et, après avoir relevé nos esprits, nous allos pencher sur la chose simple, c’est-à-dire le rapport.

Dans l’algèbre ordinaire que vous avez appris à l’école, vous cherchiez toujours après une quantité inconnue que vous avez appelée x ou y; ou parfois il y avait deux quantités inconnues à chasser simultanément. Vous devez maintenant apprendre à aller chasser d’une manière nouvelle; le renard étant maintenant ni x ni y. Au lieu de cela, vous devez chasser pour ce cube curieux appelé dy/dx. Le processus de trouver la valeur de dy/dx est appelé «différencier». Mais, rappelez-vous, ce qui est recherché est la valeur de ce rapport lorsque les dy et dx sont eux-mêmes indéfiniment petits. La valeur réelle du coefficient différentiel est celle à laquelle il se rapproche dans le cas limitant lorsque chacun d’entre eux est considéré comme minime à l’infini.

Laissez-nous maintenant apprendre comment aller en quête de dy/dx.

Traduit par Nicolae Sfetcu de «Calculus Made Easy», par Silvanus Thompson

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