» » » » » » Adunarea, scăderea, multiplicarea și divizarea pătratelor magice

Adunarea, scăderea, multiplicarea și divizarea pătratelor magice

Deși pătratul magic a apărut în antichitate, destul de curios, magia înmulțirii nu pare să fi fost menționată până la sfârșitul secolului al optsprezecelea, când s-a făcut referire la ea de un scriitor, și apoi a fost uitată până când a fost reînviată în Tit-Bits în 1897. Magia divizării a apărut aparent prima dată în The Weekly Dispatch din iunie 1898. Magia scăderii este introdusă aici pentru prima dată.

ADUNARE SCĂDERE ÎNMULȚIRE ÎMPĂRȚIRE
8 1 6 2 1 4 12 1 18 3 1 2
3 5 7 3 5 7 9 6 4 9 6 4
4 9 2 6 9 8 2 35 3 18 36 12

În aceste patru diagrame avem exemple de pătrate 3×3 pentru adunare, scădere, înmulțire și împărțire. În primul, constanta, 15, este obținută prin adunarea rândurilor, coloanelor și a două diagonale. În cel de-al doilea caz, se obține constanta, 5, scăzând primul număr într-o linie din doilea și rezultatul din al treilea. Desigur, puteți efectua operațiunea în ambele direcții; dar, pentru a evita numerele negative, este mai convenabil pur și simplu să scădem numărul de mijloc din suma celor două numere extreme. Acesta este, de fapt, același lucru. Se va observa că constanta pătratelor de adunare este de n ori mai mare decât cea a pătratelor de scădere, unde n este numărul de celulepe o latură a pătratului. Și pătratul de scădere aici se obține pur și simplu prin iversarea celor două diagonale. Ambele pătrate sunt „asociate”.

Al treilea pătrat este de înmulțire. Constanta, 216, se obține prin înmulțirea celor trei numere în orice linie. Este „asociat” prin multiplicare, în loc de adunare. Aici este necesar să remarcăm că într-un pătrat de adunare nu este esențial ca cele nouă numere să fie consecutive. Notați oricare nouă numere în acest fel –

1 3 5
4 6 8
7 9 11

astfel încât diferențele orizontale să fie identice, iar diferențele verticale să fie la fel (aici 2 și 3), iar aceste numere vor forma un pătrat magic. Făcând diferențele 1 și 3, desigur, obținem numere consecutive – un caz special, și nimic mai mult. Acum, în cazul pătratului multiplicatoare, trebuie să luăm aceste cifre în progresie geometrică în loc de aritmetică –

1 3 9
2 6 18
4 12 36

Aici, fiecare număr succesiv din rânduri este înmulțit cu 3, iar în coloane cu 2. Dacă am multiplica cu 2 și 8 ar trebui să obținem progresia geometrică obișnuită, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, și 256, dar dorim să evităm un număr mare. Numerele sunt aranjate în pătrat în aceeași ordine ca și în pătratul de adunare.

Cea de-a patra diagramă este un pătrat magic de divizare. Constanta 6 este obținută aici prin împărțirea celui de-al doilea număr într-o linie de către primul (în oricare direcție) și al treilea număr de către coeficient. Dar, din nou, procesul este simplificat prin împărțirea produsului celor două numere extreme cu numărul de mijloc. Acest pătrat este, de asemenea, „asociat” prin multiplicare. Este derivat din pătratul multiplicator prin simpla inversare a diagonalelor, iar constanta pătratului multiplicator este cubul celui al pătratului de divizare derivat din acesta.

Următorul set de diagrame prezintă soluțiile pentru pătrate cu cinci celule, 5×5. Toate sunt „asociate” în același mod ca înainte. Pătratul de scădere este derivat din pătratul de adunare prin inversarea diagonalelor și schimbarea numerelor opuse în centrele marginilor, iar constanta unuia este din nou de n ori cea a celuilalt. Pătratul de divizare este derivat din pătratul multiplicator în același mod, iar constanta acestuia din urmă este a 5-a putere (adică n) a celei dintâi.

ADUNARE SCĂDERE
17 24 1 8 15 9 24 25 8 11
23 5 7 14 16 23 21 7 12 16
4 6 13 20 22 22 6 13 20 4
10 12 19 21 3 10 14 19 5 3
11 18 25 2 9 15 18 1 2 17
ÎNMULȚIRE ÎMPĂRȚIRE
54 648 1 12 144 24 648 1296 12 9
324 16 6 72 27 324 81 6 18 27
8 3 36 432 162 162 3 36 432 8
9 108 1296 2 24 144 108 1 2 54

Aceste pătrate sunt astfel destul de ușoare pentru ordine impare. Dar cititorul va găsi probabil oarecare dificultăți în ceea ce privește ordinele pare.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *