» » » » » » Aproximarea WKB pentru ecuația Schrödinger

Aproximarea WKB pentru ecuația Schrödinger

În fizica matematică, metoda aproximării WKB sau WKB constă în găsirea unor soluții aproximative la ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți variind spațial. Se utilizează în mod tipic pentru un calcul semiclasic în mecanica cuantică în care funcția de undă este reformată ca o funcție exponențială, expandată semiclasic, și apoi se schimbă lent sau amplitudinea, sau faza.

Numele provine de la inițialele Wentzel-Kramers-Brillouin. Este de asemenea cunoscută ca metoda LG sau metoda Liouville-Green. Alte combinații de litere utilizate frecvent includ JWKB și WKBJ, unde „J” înseamnă Jeffreys.

Scurt istoric

Această metodă este numită după fizicienii Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers și Léon Brillouin, care au dezvoltat-o ​​în 1926. În 1923, matematicianul Harold Jeffreys a dezvoltat o metodă generală de aproximare a soluțiilor la ecuațiile diferențiale liniare de ordinul doi, o clasă care include ecuația lui Schrödinger. Ecuația lui Schrödinger nu a fost dezvoltată decât după doi ani, iar Wentzel, Kramers și Brillouin nu și-au dat seama de această lucrare anterioară, astfel că Jeffreys este adesea neglijat. Textele timpurii în mecanica cuantică conțin orice număr de combinații ale inițialelor lor, inclusiv WBK, BWK, WKBJ, JWKB și BWKJ. O discuție autoritară și un sondaj critic au fost făcute de Robert B. Dingle.

Aparițiile anterioare ale unor metode esențial echivalente sunt: ​​Francesco Carlini în 1817, Joseph Liouville în 1837, George Green în 1837, Lord Rayleigh în 1912 și Richard Gans în 1915. Se poate spune că Liouville și Green au fondat metoda în 1837, fiind de asemenea denumită în mod obișnuit metoda Liouville-Green sau LG.

Contribuția importantă a lui Jeffreys, Wentzel, Kramers și Brillouin la această metodă a fost includerea tratamentului punctelor de cotitură, care leagă soluțiile evanescente și oscilante de ambele părți ale punctului de cotitură. De exemplu, acest lucru se poate întâmpla în ecuația Schrödinger, datorită unui vârf de energie potențială.

Metoda WKB

În general, teoria WKB este o metodă pentru aproximarea soluției unei ecuații diferențiale a cărei derivată cea mai mare este înmulțită cu un mic parametru ε. Metoda de aproximare este după cum urmează.

Pentru o ecuație diferențială

Metoda WKB

se presupune o soluție de forma unei extinderi asimptotice a seriei

Metoda WKB

în limita δ → 0. Scalarea asimptotică a lui δ în termeni de ε va fi determinată de ecuație.

Înlocuirea ansatz-ului de mai sus în ecuația diferențială și anularea termenilor exponențiali permite rezolvarea unui număr arbitrar de termeni Sn(x) în expansiune.

Teoria WKB este un caz special de analiză pe scară mai largă.

Aplicarea la ecuația Schrödinger

Aproximarea WKB la potențialul indicat
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:WKB_approximation_example.svg 

(Aproximarea WKB la potențialul indicat. Liniile verticale arată punctele de cotitură.)

Densitatea probabilității pentru funcția de undă aproximativă
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:WKB_approximation_to_probability_density.svg 

(Densitatea probabilității pentru funcția de undă aproximativă. Liniile verticale arată punctele de cotitură.)

Exemplul de mai sus poate fi aplicat în mod specific ecuației unidimensionale, independente de timp Schrödinger,

Ecuația unidimensională independente de timp Schrödinger

care pot fi rescrise ca

Ecuația unidimensională independente de timp Schrödinger

Aproximarea departe de punctele de cotitură

Funcția de undă poate fi rescrisă ca exponențială a unei alte funcții Φ (care este strâns legată de acțiune), care ar putea fi complexă

Aproximarea departe de punctele de cotitură

În regiunea permisă clasic, și anume regiunea în care V(x) < E, integrandul în exponent este imaginar și funcția de undă aproximativă este oscilantă. În regiunea interzisă clasic V(x) > E, soluțiile sunt în creștere sau scădere. Este evident în numitor că ambele aceste soluții aproximative devin singulare în apropierea punctelor de cotitură clasice, unde E = V(x) și nu pot fi valide. (Punctele de cotitură sunt punctele în care particula clasică își schimbă direcția.)

Comportamentul în apropierea punctelor de cotitură

Considerăm acum comportamentul funcției de undă în apropierea punctelor de cotitură. Deși pentru orice valoare fixă ​​a lui funcția val este limitată în apropierea punctelor de cotitură, funcția de undă va fi maximă acolo, așa cum se poate vedea în imaginile de mai sus. Pe măsură ce devine mai mic, înălțimea funcției de undă la punctele de cotitură crește.

Condițiile de potrivire

Acum rămâne să construim o soluție globală (aproximativă) la ecuația Schrödinger. Pentru ca funcția de undă să fie integrabilă pătrată, trebuie să luăm numai soluția exponențială de dezintegrare în cele două regiuni clasic interzise. Acestea trebuie să se „conecteze” în mod corespunzător prin punctele de cotitură către regiunea permisă clasic. Pentru majoritatea valorilor lui E, această procedură de potrivire nu va funcționa: Funcția obținută prin conectarea soluției în apropierea + ∞ la regiunea permisă clasic nu va fi în acord cu funcția obținută prin conectarea soluției în apropierea la regiunea permisă clasic. Cerința ca cele două funcții să fie în acord impune o condiție asupra energiei E, ceea ce va oferi o aproximare a nivelurilor exacte ale energiei cuantice.

În orice caz, condiția privind energia este o versiune a condiției de cuantizare Bohr-Sommerfeld, cu o „corecție Maslov” egală cu 1/2.

Este posibil să se arate că, după ce au fost alcătuite aproximările în diferitele regiuni, se obține o aproximare bună față de funcția proprie. În special, energiile Bohr-Sommerfeld corectate Maslov sunt aproximări bune față de valorile proprii ale operatorului Schrödinger. Mai exact, eroarea în energii este mică în comparație cu distanțele tipice ale nivelurilor energiei cuantice. Astfel, deși „vechea teorie cuantică” a lui Bohr și Sommerfeld a fost în cele din urmă înlocuită de ecuația Schrödinger, rămân unele vestigii ale acelei teorii, ca o aproximare a valorilor proprii ale operatorului Schrödinger adecvat.

Densitatea de probabilitate

Se poate apoi calcula densitatea de probabilitate asociată funcției de undă aproximativă. Probabilitatea ca particulele cuantice să fie găsite în regiunea interzisă clasic este mică. În regiunea permisă clasic, între timp, probabilitatea ca particula cuantică să se găsească într-un interval dat este aproximativ o fracțiune din timpul petrecut de particula clasică în acel interval într-o singură perioadă de mișcare. Deoarece viteza particulei clasice ajunge la zero la punctele de cotitură, ea petrece mai mult timp în apropierea punctelor de cotitură decât în ​​alte regiuni clasic permise. Această observație explică vârful funcției de undă (și densitatea ei de probabilitate) în apropierea punctelor de cotitură.

Aplicațiile metodei WKB la ecuațiile Schrödinger cu o mare varietate de potențiale și compararea cu metodele de perturbare și integralele de trasee sunt tratate în Müller-Kirsten.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *