» » » » » » Barieră rectangulară de potențial în mecanica cuantică

Barieră rectangulară de potențial în mecanica cuantică

Barieră rectangulară de potențial

În mecanica cuantică, bariera rectangulară de potențial (sau uneori pătrată) este o problemă standard unidimensională care demonstrează fenomenele tunelării mecanice a undelor (denumită și „tunelarea cuantică”) și reflecția mecanică a undelor. Problema constă în rezolvarea ecuației unidimensionale independente de timp Schrödinger pentru o particulă care întâlnește o barieră energetică dreptunghiulară. Se presupune, ca aici, că o particulă liberă lovește bariera din stânga.

Deși clasic o particulă care se comportă ca o masă punctuală ar fi reflectată, o particulă care se comportă efectiv ca o undă de materie are o probabilitate diferită de zero de a penetra bariera și de a continua călătoria ei ca undă de cealaltă parte. În fizica clasică a undelor, acest efect este cunoscut ca cuplarea undelor evanescente. Probabilitatea ca particula să treacă prin barieră este dată de coeficientul de transmisie, în timp ce probabilitatea de a se reflecta este dată de coeficientul de reflexie. Ecuația de undă a lui Schrödinger permite calcularea acestor coeficienți.

Calcul

(Împrăștierea la o barieră de potențial de înălțime finită V0. Sunt indicate amplitudinile și direcția undei în mișcare stânga și dreapta, iar cu roșu aceste unde utilizate pentru derivarea amplitudinii de reflexie și transmisie. )

Ecuația Schrödinger independentă de timp pentru funcția de undă ψ(x)

Hψ(x) = [-ħ2/2m∙d2/dx2 + V(x)]ψ(x) = Eψ(x)

unde H este Hamiltonianul, ħ este constanta (redusă) Planck, m este masa, E energia particulei și

V(x) = V0[Θ(x) – Θ(x – a)]

este potențialul de barieră cu înălțimea V0 > 0 și lățimea a. Θ(x) = 0, x < 0; Θ(x) = 1, x > 0

este funcția treaptă Heaviside, adică

V(x) = {0 dacă x < 0; V0 dacă 0 < x < a; 0 dacă a < x.

Bariera este poziționată între x = 0 și x = a. Bariera poate fi deplasată în orice poziție x fără modificarea rezultatelor. Primul termen în Hamiltonian, -ħ2/2m∙d2/dx2ψ este energia cinetică.

Bariera împarte spațiul în trei părți (x < 0, 0 < x < a, x > a). În oricare dintre aceste părți, potențialul este constant, ceea ce înseamnă că particula este cvasi-liberă, iar soluția ecuației Schrödinger poate fi scrisă ca o suprapunere a undelor în mișcare stânga și dreapta.

Transmisie și reflexie

Este utilă compararea situației cu cazul clasic. În ambele cazuri, particula se comportă ca o particulă liberă în afara regiunii barierei. O particulă clasică cu energie E mai mare decât înălțimea barierei V0 va trece întotdeauna bariera și o particulă clasică cu E < V0  incident pe barieră ar fi întotdeauna reflectată.

Datorită simetriei în oglindă a modelului, amplitudinile pentru incidența din dreapta sunt aceleași cu cele din stânga.

E < V0
Probabilitatea de transmisie a unei barieri de potențial finit
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:TvsE8.tif

(Probabilitatea de transmisie a unei barieri de potențial finit pentru √2mV0a/ħ = 1, 3 și 7. Punctat: rezultatul clasic Linia continuă: mecanica cuantică. )

Rezultatul surprinzător este că pentru energii mai mici decât înălțimea barierei, E < V0, există o probabilitate diferită de zero pentru ca particula să fie transmisă prin barieră. Acest efect, care diferă de cazul clasic, se numește tunelare cuantică. Transmisia este suprimată exponențial cu lărgimea barieră, care poate fi înțeleasă din forma funcțională a funcției de undă: În afara barierei aceasta oscilează cu vectorul de undă, în timp ce în barieră este amortizată exponențial pe o distanță specifică. Dacă bariera este mult mai lată decât această lungime de decădere, partea stângă și cea dreaptă sunt practic independente, iar tunelul ca o consecință este suprimat.

E > V0

Pentru energiile mai mari decât înălțimea barierei, E > V0, particula poate fi reflectată din barieră cu o probabilitate diferită de zero.

Probabilitățile de transmisie și reflexie oscilează de fapt. În mod interesant, rezultatul clasic al transmisiei perfecte fără reflecție este reprodus nu numai în limita energiei mari E » V0, dar și atunci când produsul dintre energie lărgimea de și barieră este un număr întreg de π. Rețineți că probabilitățile și amplitudinile scrise sunt pentru orice energie (deasupra/dedesubtul) înălțimii barierei.

E = V0

Probabilitatea de transmisie la E = V0 poate fi evaluată.

Observații și aplicații

Calculul s-a dovedit a fi un model potrivit pentru o varietate de sisteme din viața reală. Un astfel de exemplu sunt interfețele dintre două materiale conductoare. În cea mai mare parte a materialelor, mișcarea electronilor este cvasi-liberă și poate fi descrisă de termenul cinetic în hamiltonian cu o masă efectivă m. Deseori, suprafețele acestor materiale sunt acoperite cu straturi de oxid sau nu sunt ideale din alte motive. Acest strat subțire, neconductor, poate fi apoi modelat de un potențial de barieră. Electronii pot apoi tunela de la un material la altul dând naștere unui curent.

Funcționarea unui microscop de scanare prin tunelare se bazează pe acest efect de tunel. În acest caz, bariera se datorează decalajului dintre vârful microscopului de scanare prin tunelare și obiectul de bază. Deoarece curentul tunelului depinde exponențial pe lățimea barierei, acest dispozitiv este extrem de sensibil la variațiile de înălțime ale eșantionului examinat.

Modelul de mai sus este unidimensional, în timp ce spațiul este tridimensional. Ar trebui rezolvată ecuația lui Schrödinger în trei dimensiuni. Pe de altă parte, multe sisteme se schimbă numai de-a lungul unei direcții de coordonate și sunt invariabile translațional în celelalte; ele sunt separabile. Ecuația Schrödinger poate fi redusă la cazul considerat aici de către un ansatz pentru funcția de undă de tipul: Ψ(x,y,z) = ψ(x)φ(y,z).

Pentru un alt model asemănător de barieră, a se vedea bariera de potențial Delta, care poate fi privită ca un caz special al barierei de potențial finit. Toate rezultatele de aici se aplică imediat bariei potențial delta prin considerarea limitelor V0 → ∞, a → 0 păstrând constant V0a = λ.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *