Home » Articole » RO » Societate » Filozofie » Logica » Concepte de bază în logica propozițională

Concepte de bază în logica propozițională

postat în: Logica 0

Este prezentat un calcul standard propozițional. Există multe formulări diferite care sunt mai mult sau mai puțin echivalente, dar diferă în detalii:

  • limba lor, respectiv colecția specială de simboluri primitive și simboluri ale operatorilor,
  • setul de axiome sau formule distincte; și
  • setul de reguli de inferență.

Orice propoziție dată poate fi reprezentată printr-o literă numită „constantă propozițională”, analogă reprezentării unui număr printr-o literă din matematică, de exemplu, a = 5. Toate propozițiile necesită exact una din cele două valori de adevăr: adevărat sau fals. De exemplu, considerăm P ca fiind propoziția că plouă afară. Acest lucru va fi adevărat (P) în cazul în care plouă afară, și fals altfel (¬P).

  • Apoi definim operatori cu funcționalitate de adevăr, începând cu negarea. ¬P reprezintă negarea lui P. În exemplul de mai sus, ¬P exprimă faptul că nu plouă în afara sau, printr-o citire mai standard: „Nu este cazul că plouă afară.” Atunci când P este adevărat, ¬P este fals; și atunci când P este fals, ¬P este adevărat. ¬ ¬P are întotdeauna aceeași valoare de adevăr ca și P.
  • Conjuncția este o conectivitate cu funcționalitate de adevăr care formează o propoziție din două propoziții mai simple, de exemplu, P și Q. Conjuncția dintre P și Q este scrisă P ∧ Q și spune că fiecare este adevărată. Am citit PQ ca „P și Q„. Pentru oricare două propoziții, există patru posibile atribuții ale valorilor de adevăr:
    1. P este adevărat și Q este adevărat
    2. P este adevărat și Q este fals
    3. P este fals și Q este adevărat
    4. P este fals și Q este fals

    Conjuncția dintre P și Q este adevărată în cazul 1 și este altfel falsă. Unde P este propoziția că plouă afara și Q este propoziția că un front rece este peste Kansas, PQ este adevărat atunci când plouă afară și există un front rece peste Kansas. Dacă nu plouă afară, atunci PQ este fals; și dacă nu există un front rece peste Kansas, atunci PQ este fals.

  • Disjuncția seamănă cu conjuncția prin faptul că formează o propoziție din două propoziții mai simple. Scriem PQ și se citește „P sau Q„. Se exprimă că fie P, fie Q este adevărat. Astfel, în cazurile enumerate mai sus, disjuncția lui P cu Q este adevărată în toate cazurile, cu excepția cazului 4. Folosind exemplul de mai sus, disjuncția exprimă faptul că fie că plouă afară, fie că există un front rece peste Kansas. (Notă, această utilizare a disjuncției se presupune că seamănă cu folosirea cuvântului „sau”, dar este mai mult inclusiv, putând fi folosit pentru a exprima adevărul a cel puțin uneia dintre cele două propoziții. Nu este vorba de forma exclusivă „sau”, care exprimă adevărul exact al uneia din cele două propoziții. Adică „sau” exclusiv este fals când P și Q sunt adevărate (cazul 1). Un exemplu de sau exclusiv este: Poate aveți un covrig sau un pateu, dar nu ambele.În mod frecvent, în limbajul natural, având în vedere contextul corespunzător, addendumul „dar nu ambele” este omis, dar implicit, dar în matematică „sau” este întotdeauna sau incluziv: dacă se vrea să fie sau exclusiv, acesta va fi specificat eventual prin „xor”.)
  • Condiționalul material unește de asemenea două propoziții mai simple și scriem PQ, care se citește „dacă P atunci Q„. Propoziția din stânga săgeții este numită antecedent, iar propoziția din dreapta se numește consecința. (Nu există o astfel de denumire pentru conjuncție sau disjuncție, deoarece acestea sunt operații comutative.) Se spune că Q este adevărat ori de câte ori P este adevărat. Astfel, PQ este adevărat în fiecare caz de mai sus cu excepția cazului 2, deoarece acesta este singurul caz în care P este adevărat dar Q nu este. Folosind exemplul, dacă P atunci Q exprimă faptul că dacă plouă afară, atunci existăun front rece peste Kansas. Condițional material este adesea confundat cu cauzalitatea fizică. Condițional material, totuși, relaționează numai două propoziții prin valorile adevărului lor – care nu este relația dintre cauză și efect. Este controversat în literatura de specialitate dacă implicarea materială reprezintă o cauzalitate logică.
  • Bicondiționalitatea alătură două propoziții mai simple și scriem PQ, care se citește „P dacă și numai dacă Q„. Ea exprimă că P si Q au aceeași valoare de adevăr, deci în cazurile 1 si 4, P este adevărat dacă și numai dacă Q este adevărat, și altfel fals.

Este extrem de util să folosim tabelele de adevăr pentru acești diferiți operatori, precum și metoda tabloului analitic.

Închiderea sub operații

Logica propozițională este închisă sub conectorii cu funcționalitate de adevăr. Adică, pentru orice propoziție φ, ¬φ este, de asemenea, o propoziție. De asemenea, pentru orice propoziții φ și ψ, φψ este o propoziție și, în mod similar, pentru disjuncție, condiționalitate și bicondiționalitate. Aceasta presupune că, de exemplu, φψ este o propoziție și poate fi cuplată cu o altă propoziție. Pentru a reprezenta acest lucru, trebuie să folosim paranteze pentru a indica ce propoziție este asociată cu care. De exemplu, PQR nu este o formulă bine formată, pentru că nu știm dacă suntem PQ se combină cu R sau dacă se combină P cu QR. Astfel, trebuie să scrie fie (PQ ) ∧ R pentru a reprezenta prima variantă, fie P ∧ (QR) pentru a reprezenta pe cea din urmă. Prin evaluarea condițiilor de adevăr, vom vedea că ambele expresii au aceleași condiții de adevăr (vor fi adevărate în aceleași cazuri), și în plus că orice propoziție formată prin conjuncțiile arbitrare vor avea aceleași condiții de adevăr, indiferent de locația parantezelor. Aceasta înseamnă că conjuncția este asociativă, însă nu trebuie să presupunem că parantezele nu servesc niciodat uni scop. De exemplu, propoziția P ∧ (QR) nu are aceleași condiții de adevăr ca (PQ) ∨ R, deci sunt propoziții diferite distinse numai de paranteze. Se poate verifica acest lucru prin metoda tabelei de adevăr la care se face referire mai sus.

Notă: Pentru un număr arbitrar de constante propoziționale, putem forma un număr finit de cazuri care enumeră posibilele valori ale adevărului. O modalitate simplă de a genera acest lucru este prin tabelele de adevăr, în care se scrie P, Q, …, Z pentru orice listă de k constante propoziționale – adică orice listă de constante propoziționale cu k intrări. Sub această listă scrieți 2k rânduri, iar sub P se umple în prima jumătate a rândurilor cu adevărat (sau T) iar a doua jumătate cu falsă (sau F). Sub Q se umple un sfert din rânduri cu T, apoi cu un sfert cu F, apoi cu un sfert cu T și cu ultimul trimestru cu F. Următoarea coloană alternează între adevărat și fals pentru fiecare din cele opt dintre rânduri, apoi șaisprezece și așa mai departe, până când ultima constantă propozițională variază între T și F pentru fiecare rând. Aceasta va oferi o listă completă a cazurilor sau a atribuțiilor de valoare de adevăr posibile pentru acele constante propoziționale.

Argument

Calculul propozițional definește apoi un argument pentru a fi o listă de propoziții. Un argument valid este o listă de propoziții, ultimul care rezultă din – sau este mplicat de – restul. Toate celelalte argumente sunt nevalide. Argumentul cel mai simplu valabil este modus ponens, o instanță a căruia este următoarea listă de propoziții:

1. PQ
2. P
———-
Q

Aceasta este o listă de trei propoziții, fiecare linie este o propoziție, iar ultima rezultă din restul. Primele două linii sunt numite premise, iar ultima linie este concluzia. Se spune că orice propoziție C rezultă din orice set de propoziții (P1, …, Pn), dacă C trebuie să fie adevărat ori de câte ori fiecare membru al setului (P1, …, Pn) este adevărat. În argumentul de mai sus, pentru orice P și Q, ori de câte ori PQ și P sunt adevărate, neapărat Q este adevărat. Observați că, atunci când P este adevărat, nu putem lua în considerare cazurile 3 și 4 (din tabelul de adevăr). Atunci când PQ este adevărat, nu putem lua în considerare cazul 2. Acest lucru lasă doar cazul 1, în care Q este de asemenea adevărat. Astfel Q este implicat de premise.

Acest lucru se generalizează schematic. Astfel, unde φ și ψ pot fi orice propoziții,

1. φψ
2. φ
———-
ψ

Alte forme de argumentare sunt convenabile, dar nu sunt necesare. Având în vedere un set complet de axiome, modus ponens este suficient pentru a dovedi toate celelalte forme de argument în logica propozițională, astfel încât acestea pot fi considerate derivate. De notat că acest lucru nu este valabil în cazul extinderii logicii propoziționale la alte logici, cum ar fi logica de prim ordin. Logica de ordinul întâi necesită cel puțin o regulă suplimentară de inferență pentru a obține o completitudine.

Semnificația argumentului în logica formală este că se pot obține noi adevăruri din adevărurile stabilite. În primul exemplu de mai sus, având în vedere cele două premise, adevărul lui Q nu este încă cunoscut sau declarat. După ce argumentul este făcut, Q este dedus. În acest fel, definim un sistem de deducere ca fiind un set al tuturor propozițiilor care pot fi deduse dintr-un alt set de propoziții. De exemplu, având în vedere setul de propoziții A = {PQ, ¬ QR, (PQ) → R}, putem defini un sistem de deducere, Γ, care este mulțimea tuturor propozițiilor care decurg din A. Reiterarea este întotdeauna asumată, deci PQ, Q ¬ ∧ R, (PQ ) → RΓ. De asemenea, din primul element al lui A, ultimul element, precum și modus ponens, R este o consecință și deci RΓ. Deoarece nu am inclus însă axiome suficient de complete, nimic altceva nu poate fi dedus. Astfel, deși majoritatea sistemelor de deducere studiate în logica propozițională pot deduce (PQ) ↔ (¬PQ), acesta este prea slab pentru a dovedi o astfel de propoziție.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *