» » » » » » Ecuația de mișare a lui Heisenberg (Reprezentările Heisenberg, Schrödinger și Dirac)

Ecuația de mișare a lui Heisenberg (Reprezentările Heisenberg, Schrödinger și Dirac)

Reprezentarea Heisenberg

În fizică, imaginea Heisenberg (numită și reprezentarea Heisenberg) este o formulă (în mare parte datorată lui Werner Heisenberg în 1925) a mecanicii cuantice în care operatorii (observabile și alții) încorporează o dependență de timp, dar vectorii proprii sunt independenți, o bază fixă ​​arbitrară stând la baza teoriei.

Aceasta este în contrast cu imaginea lui Schrödinger în care operatorii sunt constanți, în schimb, iar stările evoluează în timp. Cele două imagini diferă doar printr-o schimbare de bază cu privire la dependența de timp, care corespunde diferenței dintre transformările active și cele pasive. Imaginea lui Heisenberg este formularea mecanicii matriceale într-o bază arbitrară, în care Hamiltonianul nu este în mod necesar diagonal.

Acesta servește și pentru a defini o a treia imagine, hibridă, a interacțiunii (reprezentarea Dirac).

În imaginea Heisenberg a mecanicii cuantice, vectorii de stare, |ψ(t)›, nu se schimbă cu timpul, în timp ce observabilele A satisfac

d/dt·A(t) = i/ℏ·[H,A(t)] + (∂A/∂t)H

unde H este Hamiltonianul și [•,•] denotă comutatorul a doi operatori (în acest caz H și A). Luarea valorilor așteptărilor duce automat la teorema Ehrenfest.

Prin teorema Stone-von Neumann, imaginea Heisenberg și imaginea Schrödinger sunt echivalente unitar, doar o schimbare de bază în spațiul Hilbert. Într-un fel, imaginea Heisenberg este mai naturală și mai convenabilă decât imaginea echivalentă Schrödinger, în special pentru teoriile relativiste. Invarianța Lorentz se manifestă în imaginea Heisenberg, deoarece vectorii de stare nu evidențiază timpul sau spațiul.

Această abordare are, de asemenea, o asemănare mai directă cu cea din fizica clasică: înlocuind pur și simplu comutatorul de mai sus cu paranteza Poisson, ecuația lui Heisenberg se reduce la o ecuație din mecanica hamiltoniană.

Reprezentarea Schrödinger

În fizică, imaginea Schrödinger (numită și reprezentarea Schrödinger) este o formulare a mecanicii cuantice în care vectorii de stare evoluează în timp, dar operatorii (observabile și alții) sunt constanți în raport cu timpul. Aceasta diferă de imaginea Heisenberg care menține stările constante în timp ce observabilele evoluează în timp, și de imaginea de interacțiune (Dirac) în care atât stările cât și observabilele evoluează în timp. Imaginile Schrödinger și Heisenberg sunt legate de transformări active și pasive, iar relațiile de comutație între operatori sunt păstrate la trecerea dintre cele două imagini.

În imaginea Schrödinger, starea unui sistem evoluează cu timpul. Evoluția pentru un sistem cuantic închis este adusă de un operator unitar, operatorul evoluției timpului. Pentru evoluția timpului de la un vector de stare |ψ(t0)› la momentul t0 la un vector de stare |ψ(t)› la momentul t, operatorul evoluției timpului este de obicei scris U(t,t0), și avem

|ψ(t)› = U(t,t0)|ψ(t0)› .

În cazul în care hamiltonianul sistemului nu variază în funcție de timp, operatorul evoluției timpului are forma

U(t,t0) = e-iH(t-t0)/ℏ,

unde exponentul este evaluat prin seria Taylor.

Imaginea Schrödinger este utilă atunci când avem de-a face cu un hamiltonian H independent de timp; adică, ∂tH = 0.

În mecanica cuantică elementară, starea unui sistem cuantic-mecanic este reprezentată de o funcție de undă cu valoare complexă ψ(x,t). Mai abstract, starea poate fi reprezentată ca vector de stare, sau ket, |ψ›. Acest ket este un element al unui spațiu Hilbert, un spațiu vectorial care conține toate stările posibile ale sistemului. Un operator cuantic-mecanic este o funcție care ia un ket |ψ› și returnează alt ket .

Diferențele dintre imaginile Schrödinger și Heisenberg ale mecanicii cuantice se referă la modul de abordare a sistemelor care evoluează în timp: natura dependentă de timp a sistemului trebuie să fie purtată de o combinație a vectorilor de stare și a operatorilor. De exemplu, un oscilator cuantic armonic poate fi într-o stare |ψ› pentru care valoarea de așteptare a impulsului, ‹ψ|p^|ψ›, oscilează sinusoidal în timp. Ne putem întreba dacă această oscilație sinusoidală ar trebui să se reflecte în vectorul de stare |ψ›, în operatorul impulsului p^, sau în ambele. Toate cele trei alegeri sunt valabile; prima prezintă imaginea Schrödinger, a doua imaginea Heisenberg, iar cea de-a treia imaginea de interacțiune (Dirac).

Reprezentarea de interacțiune (Dirac)

În mecanica cuantică, imaginea de interacțiune (cunoscută și sub numele de reprezentarea de interacțiune, imaginea Dirac sau reprezentarea Dirac, după numele lui Paul Dirac) este o reprezentare intermediară între imaginea Schrödinger și imaginea Heisenberg. În timp ce în celelalte două imagini, fie vectorul de stare, fie operatorii au dependență de timp, în imaginea de interacțiune ambele au parte de dependența de timp a observabilelor. Imaginea de interacțiune este utilă în tratarea modificărilor funcțiilor de undă și a observailelor datorate interacțiunilor. Cele mai multe calcule teoretice ale câmpului utilizează reprezentarea interacțiunii deoarece construiesc soluția pentru ecuația Schrödinger pentru mai multe corpuri ca soluție la problema particulelor libere plus unele părți de interacțiune necunoscute.

Ecuațiile care includ operatorii care acționează în momente diferite, care se află în imaginea de interacțiune, nu se află neapărat în imaginea Schrödinger sau Heisenberg. Acest lucru se datorează faptului că transformările unitare dependente de timp relaționează operatorii într-o singură imagine cu operatorii analogi din celelalte.

Operatorii și vectorii de stare din imaginea de interacțiune sunt legați de o schimbare de bază (transformare unitară) de aceiași operatori și vectori de stare în imaginea Schrödinger.

Pentru a comuta în imaginea de interacțiune, împărțim hamiltonianul imaginii Schrödinger în două părți:

HS = H0,S + H1,S.

Orice alegere posibilă a părților va produce o imagine de interacțiune valabilă; dar pentru ca imaginea de interacțiune să fie utilă în simplificarea analizei unei probleme, părțile vor fi alese în mod tipic astfel încât H0,S să fie bine înțeleasă și exact solvabilă, în timp ce H1,S conține o perturbație mai dificil de analizat a sistemului.

În cazul în care hamiltonianul are o dependență temporală explicită (de exemplu, dacă sistemul cuantic interacționează cu un câmp electric extern aplicat, care variază în timp), va fi de obicei avantajos să se includă termenii explicit dependenți de timp cu H1,S, lăsând H0,S independent de timp. Dacă există un context în care este logic ca H0,S să fie dependent de timp, atunci se poate proceda prin înlocuirea lui e±iH0,St/ℏ cu operatorul corespunzător evoluției timpului în definițiile de mai jos.

Scopul imaginii de interacțiune este de a șunta tot timpul dependența datorată lui H0 în operatori, permițându-le astfel să evolueze liber și lăsând doar H1,I să controleze evoluția timpului vectorilor de stare.

Imaginea de interacțiune este convenabilă atunci când se are în vedere efectul unui termen de interacțiune mic, H1,S, fiind adăugat la hamiltonianul unui sistem rezolvat, H0,S. Folosind imaginea de interacțiune, putem folosi teoria perturbării dependente de timp pentru a găsi efectul lui H1,I, de exemplu, în derivarea regulii de aur a lui Fermi sau seria Dyson în teoria câmpului cuantic: în 1947, Tomonaga și Schwinger au apreciat că teoria perturbării covariante ar putea fi formulată elegant în imaginea de interacțiune, deoarece operatorii de câmp pot evolua în timp ca câmpuri libere, chiar și în prezența interacțiunilor, tratate acum perturbativ într-o astfel de serie Dyson.

Comparație a evoluției în toate imaginile/reprezentările

Evoluția Imaginea
lui: Heisenberg Interacție (Dirac) Schrödinger
Starea ket constantă |ψI(t)› = eiH0,St/ℏS(t)› |ψS(t)› = e−iHSt/ℏS(0)›
Observabilă AH(t) = eiHSt/ℏASe−iHSt/ℏ AI(t) = eiH0,St/ℏASe−iH0,St/ℏ constantă
Matrice de densitate constantă ρI(t) = eiH0,St/ℏρS(t)e−iH0,St/ℏ ρS(t) = e−iHSt/ℏρS(0)eiHSt/ℏ

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *