» » » » » » Ecuația Dirac

Ecuația Dirac

Paul Dirac(Paul Dirac (1902-1984))

În 1928, Paul Dirac a extins ecuația Pauli, care a descris electronii în rotație, pentru a explica relativitatea specială. Rezultatul a fost o teorie care se ocupa în mod corespunzător de evenimente, cum ar fi viteza la care un electron orbitează nucleul, apărând la o fracție substanțială a vitezei luminii. Folosind cea mai simplă interacțiune electromagnetică, Dirac a fost capabil să prezică valoarea momentului magnetic asociat cu rotația electronilor și a găsit valoarea observată experimental, care era prea mare pentru a fi o sferă încărcată în rotație guvernată de fizica clasică. El a reușit să determine liniile spectrale ale atomului de hidrogen și să reproducă din principiile fizice prima formulă a principiilor lui Sommerfeld pentru structura fină a spectrului de hidrogen.

Ecuațiile lui Dirac au dat uneori o valoare negativă pentru energie, pentru care el a propus o soluție nouă: a prezentat existența unui antielectron și a unui vid dinamic. Acest lucru a condus la teoria câmpului cuantic cu multe particule.

În fizica particulelor, ecuația Dirac este o ecuație relativistă a undei. În forma sa liberă sau în interacțiunile electromagnetice, ea descrie toate particulele masive cu spin-1/2, cum ar fi electronii și quarcii, pentru care paritatea este o simetrie. Este în concordanță atât cu principiile mecanicii cuantice, cât și cu teoria relativității speciale și a fost prima teorie care ia în considerare pe deplin relativitatea specială în contextul mecanicii cuantice. A fost validată prin contabilizarea detaliilor fine ale spectrului hidrogenului într-un mod complet riguros.

Ecuația implică, de asemenea, existența unei noi forme de materie, antimateria, anterior nesuspectată și neobservată, și care a fost confirmată experimental câțiva ani mai târziu. De asemenea, a oferit o justificare teoretică pentru introducerea mai multor funcții de undă componente în teoria fenomenologică a spinului lui Pauli; funcțiile de undă din teoria lui Dirac sunt vectori a patru numere complexe (cunoscute ca bispinori), două dintre ele semănând cu funcția de undă Pauli în limita nerelativistă, spre deosebire de ecuația lui Schrödinger care descrie funcții de undă ale unei singure valori complexe. Mai mult decât atât, în limita la masa zero, ecuația Dirac se reduce la ecuația Weyl.

Deși Dirac nu aprecia pe deplin importanța rezultatelor sale, explicația rezutlată a spinului ca o consecință a unirii mecanicii cuantice și a relativității – și eventuala descoperirea pozitronului – reprezintă unul dintre marile triumfuri ale fizicii teoretice. Această realizare a fost descrisă ca de aceeași importanță ca lucrările lui Newton, Maxwell și Einstein înaintea lui. În contextul teoriei câmpului cuantic, ecuația Dirac este reinterpretată pentru a descrie câmpurile cuantice corespunzătoare particulelor de spin-1/2.

Formularea matematică

Ecuația Dirac în forma inițială propusă de Dirac este:

Ecuația Dirac

unde ψ = ψ(x,t) este funcția de undă pentru electronul masei de repaus m cu coordonate spațiu-timp x, t. p1, p2, p3 sunt componentele impulsului, înțelese a fi operatorul impulsului din ecuația Schrödinger. De asemenea, c este viteza luminii și ħ este constanta lui Planck împărțită la 2π. Aceste constante fizice fundamentale reflectă relativitatea specială și mecanica cuantică, respectiv.

Scopul lui Dirac în dezvoltarea acestei ecuații a fost acela de a explica comportamentul electronului în mișcare relativistă și de a permite astfel tratarea atomului într-o manieră compatibilă cu relativitatea. Speranța lui destul de modestă a fost că corecțiile introduse în acest mod ar putea avea o influență asupra problemei spectrelor atomice. Până atunci, încercările de a face teoria cuantică veche a atomului compatibilă cu teoria relativității, încercările bazate pe discretizarea momentului unghiular stocat în orbita nucleului atomic posibil ne-circular, au eșuat – și noua mecanică cuantică a lui Heisenberg, Pauli, Iordan, Schrödinger și Dirac însuși nu s-a dezvoltat suficient pentru a trata această problemă. Deși intențiile originale ale lui Dirac au fost satisfăcute, ecuația lui a avut implicații mult mai profunde pentru structura materiei și a introdus noi clase matematice de obiecte care sunt acum elemente esențiale ale fizicii fundamentale.

Elementele noi din această ecuație sunt matricele 4 × 4 αk și β și funcția de undă cu patru componente ψ. Există patru componente în Ψ, deoarece evaluarea acesteia în orice punct dat în spațiul de configurare este un bispinor. Este interpretată ca o suprapunere a electronului de spin-up (spin-1/2), a unui electron spin-down, a unui pozitron spin-up și a unui pozitron spin-down.

Matricele 4 × 4 αk și β sunt toate hermitiene și au pătrate egale cu matricea identității:

αi2 = β2 = I4

și toate se anticomplează reciproc (dacă i și j sunt distincte):

αiαj + αjαi = 0

αiβ + βαi = 0

Ecuația simbolică unică se desface astfel în patru ecuații diferențiale parțiale de ordinul întâi cuplate pentru cele patru cantități care alcătuiesc funcția de undă. Aceste matrici și forma funcției de undă au o semnificație matematică profundă. Structura algebrică reprezentată de matricele gama a fost creată cu aproximativ 50 de ani mai devreme de matematicianul englez W. K. Clifford. La rândul său, ideile lui Clifford au fost dezvoltate din lucrarea de la jumătatea secolului al 19-lea a matematicianului german Hermann Grassmann în Lineale Ausdehnungslehre (Teoria extinderilor liniare). Acesta din urmă fusese considerat aproape de neînțeles de majoritatea contemporanilor săi. Apariția unui lucru atât de aparent abstract, la o dată atât de târzie și într-o manieră fizică directă, este unul dintre cele mai remarcabile capitole din istoria fizicii.

Interpretarea fizică

Identificarea observabilelor

Întrebarea fizică critică într-o teorie cuantică este – care sunt cantitățile fizic observabile definite de teorie? Conform postulatelor mecanicii cuantice, astfel de cantități sunt definite de operatorii hermitici care acționează asupra spațiului Hilbert al posibilelor stări ale unui sistem. Valorile proprii ale acestor operatori sunt apoi rezultatele posibile ale măsurării cantității fizice corespunzătoare. În teoria lui Schrödinger, cel mai simplu obiect este hamiltonianul general, care reprezintă energia totală a sistemului. Dacă dorim să menținem această interpretare în trecerea la teoria lui Dirac, trebuie să luăm hamiltonianul ca fiind

H = γ0[mc2 + cγk(pk – qAk)] + qA0

unde, ca întotdeauna, există o sumare implicită asupra indexului repetat de două ori k = 1, 2, 3. Aceasta pare promițătoare, deoarece vedem prin inspecție restul energiei particulei și, în cazul A = 0, energia unei sarcini plasată într-un potențial electric qA0. Cum rămâne cu termenul care implică potențialul vectorial? În electrodinamica clasică, energia unei sarcini care se deplasează într-un potențial aplicat este

H = c√((p – qA)2 + m2c2) + qA0.

Astfel, hamiltonianul Dirac este fundamental distins de omologul său clasic și trebuie să avem mare grijă să identificăm corect ceea ce este observabil în această teorie. O mare parte a comportamentului aparent paradoxal implicat în ecuația Dirac este o identificare greșită a acestor observabile.

Teoria găurilor

Soluțiile negative E ale ecuației sunt problematice, deoarece s-a presupus că particula are o energie pozitivă. Din punct de vedere matematic, totuși, nu pare să existe niciun motiv pentru a respinge soluțiile negative energetice. Din moment ce există, nu putem să le ignorăm pur și simplu, pentru că, odată ce includem interacțiunea dintre electron și câmpul electromagnetic, orice electron plasat într-o stare proprie de energie pozitivă s-ar descompune în stări proprii energetice negative de energie mai scăzută. Electronii reali evident că nu se comportă în acest fel sau ar dispărea prin emiterea de energie sub formă de fotoni.

Pentru a face față acestei probleme, Dirac a introdus ipoteza, cunoscută sub denumirea de teoria găurilor, că vacuumul este starea cuantică a multe-corpuri în care sunt ocupate toate stările proprii ale electronilor de energii negative. Această descriere a vidului ca o „mare” de electroni este numită marea Dirac. Din moment ce principiul excluziunii Pauli interzice electronilor de a ocupa aceeași stare, orice electron suplimentar ar fi forțat să ocupe o stare proprie de energie pozitivă, iar electronii cu energie pozitivă ar fi interziși să se descompună în stări proprii de energie negativă.

Dacă unui electron îi este interzis să ocupe simultan stări proprii de energie pozitivă și energie negativă, atunci caracteristica cunoscută sub numele de Zitterbewegung, care rezultă din interferența stărilor energiei pozitive și energiei negative, ar trebui considerată o predicție nefizică a dependentă de timp a teoriei lui Dirac. Această concluzie poate fi dedusă din explicația teoriei găurilor. Rezultate recente au fost publicate în Nature [R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zaehringer, E. Solano, R. Blatt și C. Roos, Nature 463, 68-71 (2010)] în care simularea Zitterbewegung a fost făcută într-un experiment cu ioni capturați. Acest experiment are impact asupra interpretării găurii dacă se deduce că experimentul fizic de laborator nu este doar o verificare a corectitudinii matematice a unei soluții a ecuației Dirac, ci măsurarea unui efect real a cărui detectabilitate în fizica electronilor este încă inaccesibilă.

Dirac a mai motivat că dacă stările proprii de energie negativă sunt umplute incomplet, fiecare stare proprie neocupată – numită gaură – se va comporta ca o particulă încărcată pozitiv. Gaura posedă o energie pozitivă deoarece energia este necesară pentru a crea o pereche de găuri de particule din vid. După cum s-a menționat mai sus, Dirac a crezut inițial că gaura ar putea fi protonul, dar Hermann Weyl a subliniat că gaura ar trebui să se comporte ca și cum ar avea aceeași masă ca un electron, în timp ce protonul este de peste 1800 de ori mai greu. Gaura a fost în cele din urmă identificată ca pozitron, descoperit experimental de către Carl Anderson în 1932.

Nu este deloc satisfăcător să descriem „vidul” folosind o mare infinită de electroni cu energie negativă. Contribuțiile infinit negative ale mării de electroni cu energie negativă trebuie să fie anulate de o energie infinită pozitivă „goală”, iar contribuția la densitatea de sarcini și la curentul provenit din marea de electroni cu energie negativă este anulată cu adevărat de o infinitate pozitivă de tip „jellium” (gaz uniform omogen de electroni), astfel încât densitatea sarcinii electrice nete a vidului este zero. În teoria câmpului cuantic, o transformare Bogoliubov asupra operatorilor de creare și de anihilare (transformarea unei stări ocupată de electroni cu energie negativă într-o stare neocupată de pozitroni de energie pozitivă și a unei stări neocupată de electroni de energie negativă într-o stare ocupată de pozitroni de energie pozitivă) ne permite să ocolim formalismul mării Dirac, deși, formal, este echivalent cu acesta.

Cu toate acestea, în anumite aplicații ale fizicii materiei condensate, conceptele fundamentale ale „teoriei găurilor” sunt valabile. Marea de electroni de conducție într-un conductor electric, numită mare Fermi, conține electroni cu energii până la potențialul chimic al sistemului. O stare neumplută în marea Fermi se comportă ca un electron încărcat pozitiv, deși este denumit mai degrabă o „gaură” decât un „pozitron”. Sarcina negativă a mării Fermi este echilibrată de rețeaua ionică încărcată pozitiv a materialului.

În teoria câmpului cuantic, cum ar fi electrodinamica cuantică, câmpul Dirac este supus unui proces de cuantizare secundară, care rezolvă unele dintre trăsăturile paradoxale ale ecuației.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *