Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Teoria relativității » Einstein: Continuum euclidian și non-euclidian

Einstein: Continuum euclidian și non-euclidian

Suprafața unei plăci din marmură se întinde în fața mea. Pot să ajung din orice punct de pe această masă în orice alt punct, trecând continuu dintr-un punct într-un punct „învecinat” și repetând acest proces (de multe ori) sau, cu alte cuvinte, mergând de la punct la punct fără a executa „salturi”. Sunt sigur că cititorul va aprecia cu suficientă claritate ce vreau să spun aici prin „învecinat” și prin „salturi” (dacă nu este prea pedantic). Exprimăm această proprietate a suprafeței descriind-o ca un continuum.

Să ne imaginăm acum că au fost făcute un număr mare de bare cu lungimea egală, lungimile fiind mici, comparativ cu dimensiunile plăcii de marmură. Când spun că ele au o lungime egală, vreau să spun că se poate pune una peste alta fără ca să se suprapună capetele. În continuare așezăm patru din aceste bare mici pe placa de marmură, astfel încât acestea să constituie o figura patrulaterală (un pătrat), ale cărei diagonale sunt egale ca lungime. Pentru a asigura egalitatea diagonalelor, facem uz de o mică bară de testare. În acest pătrat adăugăm altele similare, fiecare dintre ele având o singură bară în comun cu primul pătrat. Procedăm în același fel cu fiecare dintre aceste pătrate, până când, în cele din urmă, toată placa de marmură este plină cu pătrate. Aranjamentul este astfel încât fiecare latură a unui pătrat să aparțină la două pătrate și fiecare colț la patru pătrate.

Este o adevărată minune că putem face acest lucru fără să ne confruntăm cu cele mai mari dificultăți. Trebuie doar să ne gândim la următoarele. Dacă în orice moment trei pătrate se întâlnesc într-un colț, atunci există deja două laturi pentru un al patrulea pătrat și, ca o consecință, aranjamentul celorlalte două laturi ale pătratului este deja complet determinat. Dar nu mai pot regla patrulaterul astfel încât diagonalele sale să fie egale. Dacă ele sunt egale de la sine, atunci aceasta este o favoare specială a plăcii de marmură și a micilor bare, fapt pentru care nu pot decât să fiu surprins. Trebuie să experimentăm multe astfel de surprize dacă vrem să reușim cu construcția.

Dacă totul a mers într-adevăr fără probleme, atunci spun că punctele de pe placa de marmură constituie un continuum euclidian în raport cu bara mică, care a fost folosită ca o „distanță” (interval liniar). Alegând un colț al unui pătrat ca „origine”, pot caracteriza fiecare colț al unui pătrat referitor la această origine prin intermediul a două numere. Am nevoie doar să știu câte bare trebuie să folosesc atunci când, începând de la origine, merg spre „dreapta” și apoi „în sus”, pentru a ajunge la colțul pătratului avut în vedere. Aceste două numere sunt atunci „coordonatele carteziane” ale acestui colț cu referire la „sistemul de coordonate cartesian”, care este determinat de aranjarea barelor mici.

Folosind următoarea modificare a acestui experiment abstract, recunoaștem că trebuie să existe și cazuri în care experimentul nu va avea succes. Vom presupune că tijele „se lungesc” în valoare proporțională cu creșterea temperaturii. Se încălzește partea centrală a plăcii de marmură, dar nu și periferia, caz în care două dintre barele noastre mici încă mai pot fi făcute să coincidență cu fiecare poziție de pe masă. Dar construcția noastră de pătrate se va derefla cu siguranță în timpul încălzirii, deoarece barele din regiunea centrală a mesei se alungesc, în timp ce cele de pe margini nu.

Cu referire la barele noastre mici – definite ca lungimi de unitate – placa de marmură nu mai este un continuum euclidian și nu mai suntem în situația de a defini direct coordonatele carteziene cu ajutorul lor, deoarece construcția de mai sus nu mai poate să fie efectuată. Dar dacă există alte lucruri care nu sunt influențate într-o manieră asemănătoare cu barele (sau poate deloc) de temperatura plăcii, este posibil să se păstreze în mod firesc punctul de vedere că placa de marmură este un ”continuum euclidian”. Acest lucru se poate face într-o manieră satisfăcătoare, folosind o prevedere mai subtilă cu privire la măsurarea sau compararea lungimilor.

Dar dacă indiferent de bare (indiferent de material) acestea se vor comporta în același mod în ceea ce priveste influența temperaturii atunci când se găsesc pe placa de marmură încălzită, și dacă nu avem niciun alt mijloc de a detecta efectul temperaturii decât comportamentul geometric al barelor noastre în experimente analoge celei descrise mai sus, atunci cel mai bun plan al nostru ar fi să considerăm distanța dintre două puncte pe placă, cu condiția ca, pentru una dintre barele noastre, capetele ei să fie făcute să coincidă cu aceste două puncte; pentru că, cum altfel ar trebui să definim distanța fără ca procedura noastră să fie în cea mai mare măsură extrem de arbitrară? Trebuie să renunțăm atunci la metoda coordonatelor carteziene și să o înlocuim cu o altă metodă care nu își asumă validitatea geometriei euclidiene pentru corpurile rigide. 20) Cititorul va observa că situația prezentată aici corespunde celei care a rezultat din postulatul general al relativității (Secțiunea 23).

Note

20) Matematicienii s-au confruntat cu problema noastră în următoarea formă. Dacă se dă o suprafață (de exemplu, un elipsoid) în spațiul tridimensional euclidian, atunci există pentru această suprafață o geometrie bidimensională, la fel ca și pentru o suprafață plană. Gauss și-a asumat sarcina de a trata această geometrie bidimensională din primele principii, fără a folosi faptul că suprafața aparține unui continuum euclidian tridimensional. Dacă ne imaginăm construcțiile care urmează a fi făcute cu bare rigide pe suprafață (asemănătoare cu cea de mai sus cu placa de marmură), ar trebui să constatăm că legi diferite rezultă de aici față de cele care rezultă din bazele geometriei plane euclidiene. Suprafața nu este un continuum euclidian în raport cu barele și nu putem defini coordonate carteziane pe suprafață. Gauss a indicat principiile conform cărora putem trata relațiile geometrice pe suprafață și, astfel, a evidențiat calea spre metoda lui Riemann de tratare a continuumului multidimensional, non-euclidian. Astfel, matematicienii au rezolvat cu mult timp în urmă problemele formale la care suntem conduși de postulatul general al relativității.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *