Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Teoria relativității » Einstein: Coordonate gaussiene

Einstein: Coordonate gaussiene

Coordonate gaussiene (Fig. 4)

Potrivit lui Gauss, acest mod combinat analitic și geometric de tratare a problemei poate fi realizat în felul următor. Ne imaginăm un sistem de curbe arbitrare (a se vedea Fig. 4) desenate pe suprafața plăcii. Acestea sunt desemnate drept curbe u și le indicăm pe fiecare printr-un număr. Curbele u = 1, u = 2 și u = 3 sunt desenate în diagramă. Între curbele u = 1 și u = 2 trebuie să ne imaginăm un număr infinit de mare de curbe, care corespund numerelor reale situate între 1 și 2 din fig. 4. Astfel avem un sistem de curbe u, iar acest sistem „infinit de dens” acoperă întreaga suprafață a mesei. Aceste curbe u nu trebuie să se intersecteze reciproc, iar prin fiecare punct al suprafeței trebuie să treacă o singură curbă. Astfel, o valoare perfect definită a lui u corespunde fiecărui punct de pe suprafața plăcii de marmură. În mod similar, ne imaginăm un sistem de curbe v desenate pe suprafață. Acestea îndeplinesc aceleași condiții ca și curbele u, ele sunt prevăzute cu numere într-o manieră corespunzătoare și pot fi, de asemenea, de formă arbitrară. Rezultă că fiecare combinație de valoare dată a lui u și valoare dată a lui v corespunde câte unui punct de pe suprafața plăcii. Numim aceste două numere coordonatele suprafeței mesei (coordonatele gaussiene). De exemplu, punctul P din diagramă are coordonatele gaussiene u = 3, v = 1. Două puncte vecine P și P1 de pe suprafață corespund atunci coordonatelor

P:     u, v

P1:    u + du, v + dv,

unde du și dv semnifică numere foarte mici. Într-o manieră similară putem indica distanța (intervalul de linii) dintre P și P1, măsurată cu o bară mică, prin intermediul numărului foarte mic ds. Atunci, conform lui Gauss, avem

ds2 = g11du2 + 2g12dudv + g22dv2

unde g11, g12, g22 sunt magnitudini care depind într-o manieră perfect definită de u și v. Amplitudinile g11, g12, și g22 determină comportamentul barelor în raport cu curbele u și curbele v, și astfel și relativ la suprafața plăcii. Pentru cazul în care punctele de pe suprafața considerată formează un continuum euclidian cu referire la barele de măsurare, dar numai în acest caz, este posibilă trasarea curbelor u și a curbelor v și atașarea numerelor la ele, astfel încât să avem:

ds2 = du2 + dv2

În aceste condiții, curbele u și curbele v sunt linii drepte în sensul geometriei euclideene și ele sunt perpendiculare între ele. Aici coordonatele gaussiene sunt pur și simplu carteziene. Este clar că coordonatele gaussiene nu sunt decât o asociere a două seturi de numere cu punctele suprafeței considerate, de o asemenea natură încât valorile numerice care diferă foarte puțin unele de altele sunt asociate cu punctele vecine „în spațiu”.

Până în prezent, aceste considerente au un continuum de două dimensiuni. Dar metoda gaussiană poate fi aplicată și unui continuum de trei, patru sau mai multe dimensiuni. Dacă, de exemplu, ar fi presupus un continuum de patru dimensiuni, putem să îl reprezentăm în modul următor. Cu fiecare punct al continuumului, asociem arbitrar patru numere, x1, x2, x3, x4, care sunt cunoscute sub numele de „coordonate”. Punctele adiacente corespund valorilor adiacente ale coordonatelor. Dacă o distanță ds este asociată cu punctele adiacente P și P1, această distanță fiind măsurabilă și bine definită din punct de vedere fizic, atunci se aplică următoarea formulă:

ds2 = g11dx12 + 2g12dx1dx2. . . . g44dx42,

unde magnitudinea g11, etc., au valori care variază în funcție de poziția din continuum. Doar atunci când continuumul este euclidian, este posibil să asociem coordonatele x1. . x4 cu punctele din continuum, astfel încât să avem pur și simplu

ds2 = dx12 + dx22 + dx32 + dx42.

În acest caz, relațiile se păstrează în continuumul patru-dimensional, care sunt analogice cu cele din măsurătorile noastre tridimensionale.

Cu toate acestea, tratamentul gaussian pentru ds2 pe care l-am prezentat mai sus nu este întotdeauna posibil. Este posibilă numai atunci când regiuni suficient de mici ale continuumului în cauză pot fi considerate continuu euclidiene. De exemplu, acest lucru se întâmplă evident în cazul plăcii de marmură și al variației locale a temperaturii. Temperatura este practic constantă pentru o mică parte a plăcii și, astfel, comportamentul geometric al barelor este aproape la fel cum ar trebui să fie în conformitate cu regulile geometriei euclidiene. Prin urmare, imperfecțiunile construcției de pătrate din secțiunea anterioară nu se manifestă clar până când această construcție nu se extinde pe o porțiune considerabilă a suprafeței mesei.

Putem rezuma toate acestea după cum urmează: Gauss a inventat o metodă pentru tratarea matematică a continuumului în general, în care sunt definite „relațiile de mărime” („distanțele” între punctele vecine). Fiecărui punct al unui continuum i se atribuie atâtea numere (coordonate gaussiene) câte dimensiuni are continuumul. Aceasta se face astfel încât să se poată atașa doar o singură semnificație atribuirii, iar numerele (coordonatele gaussiene) care diferă cu o sumă indefinit de mică sunt atribuite punctelor adiacente. Sistemul de coordonate gaussiene este o generalizare logică a sistemului de coordonate cartezian. Este de asemenea aplicabil continuumului non-euclidian, dar numai atunci când, în ceea ce privește „dimensiunea” sau „distanța” definită, „mici părți ale continuumului analizat se comportă cu atât mai aproape de un sistem euclidian, cu cât este mai mică partea noastră de continuum.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *