Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica cuantică » Forma generală a ecuației Schrodinger: Operatorul hamiltonian

Forma generală a ecuației Schrodinger: Operatorul hamiltonian

În mecanica cuantică, un hamiltonian este un operator care corespunde energiei totale a sistemului în majoritatea cazurilor. Este de obicei indicat prin H, de asemenea Ȟ sau Ĥ. Spectrul său este setul de rezultate posibile atunci când se măsoară energia totală a unui sistem. Datorită relației sale strânse cu evoluția temporală a unui sistem, este de o importanță fundamentală în majoritatea formulelor teoriei cuantice.

Hamiltonianul este numit după William Rowan Hamilton, care a creat o reformă revoluționară a mecanicii newtoniene, numită acum mecanică hamiltoniană, importantă în fizica cuantică.

Hamiltonianul este suma energiilor cinetice ale tuturor particulelor, plus energia potențială a particulelor asociate sistemului. Pentru situații sau număr de particule diferite, hamiltonianul este diferit, deoarece include suma energiilor cinetice ale particulelor și funcția de energie potențială corespunzătoare situației.

Ecuația Schrödinger

Hamiltonianul generează evoluția în timp a stărilor cuantice. Dacă |ψ(t)› este starea sistemului la momentul t, atunci

H|ψ(t)› = iℏ·∂/∂t·|ψ(t)›.

Această ecuație este ecuația Schrödinger. Ea are aceeași formă ca și ecuația Hamilton-Jacobi, fiind unul dintre motivele pentru care H este numit și hamiltonian. Având în vedere starea la un timp inițial (t = 0), putem rezolva ecuația pentru a obține starea în orice moment ulterior. În special dacă H este independent de timp, atunci

|ψ(t)› = e-iHt/ℏ|ψ(0)›.

Operatorul exponențial din partea dreaptă a ecuației Schrödinger este de obicei definit de seria de puteri corespunzătoare în H. ​​Se poate observa că dacă se iau unele polinoame sau serii de puteri de operatori nelimitați care nu sunt definiți peste, este posibil să nu avem un sens matematic. Din punct de vedere riguros, pentru a folosi funcții de operatori fără limite, este necesar un calcul funcțional. În cazul funcției exponențiale, calculul funcțional continuu, sau doar calculul funcțional holomorf, este suficient. Remarcăm totuși că, pentru calcule comune, formularea fizicienilor este suficientă.

U = e-iHt/ℏ

este un operator unitar. Este operatorul evoluției în timp sau propagatorul unui sistem cuantic închis. Dacă hamiltonianul este independent de timp, {U(t)} formează un grup unitar cu un parametru (mai mult decât un semigrup); acest lucru dă naștere la principiul fizic al echilibrului detaliat.

Formalismul Dirac

Cu toate acestea, în formalismul mai general al lui Dirac, hamiltonianul este în mod obișnuit implementat ca operator într-un spațiu Hilbert în felul următor:

Ket proprii (vectorii proprii) ai lui H, notați cu |a›, oferă o bază ortonormală pentru spațiul Hilbert. Spectrul de niveluri de energie permise de sistem este dat de setul de valori proprii, denumit {Ea}, rezolvând ecuația:

H|a› = Ea|a› .

Deoarece H este un operator hermitian, energia este întotdeauna un număr real.

Din punct de vedere matematic riguros, trebuie să avem grijă cu ipotezele de mai sus. Operatorii pe spațiile Hilbert cu dimensiuni infinite nu trebuie să aibă valori proprii (setul de valori proprii nu coincide neapărat cu spectrul unui operator). Cu toate acestea, toate calculele mecanice cuantice de rutină se pot face utilizând formularea fizică.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *