» » » » » » Formularea spațiului de fază în mecanica cuantică

Formularea spațiului de fază în mecanica cuantică

Formularea spațiului de fază a mecanicii cuantice plasează variabilele de poziție și impuls pe picior de egalitate, în spațiul de fază. În contrast, imaginea Schrödinger folosește reprezentările poziției sau impulsului. Cele două caracteristici cheie ale formulării spațiului de fază sunt că starea cuantică este descrisă printr-o distribuție de quasiprobabilitate (în locul unei funcții de undă, vector de stare sau matrice de densitate) și multiplicarea operatorului este înlocuită de un produs stelar (Moyal).

Teoria a fost dezvoltată pe deplin de Hilbrand Groenewold în 1946 în teza sa de doctorat, și independent de Joe Moyal, fiecare construind pe idei anterioare ale lui Hermann Weyl și Eugene Wigner.

Principalul avantaj al formulării spațiului de fază constă în faptul că mecanica cuantică apare ca fiind similară cu mecanica hamiltoniană, evitând formalismul operatorului, astfel ”’eliberând’ cuantificarea ‘sarcinii’ spațiului Hilbert”. Această formulare este de natură statistică și oferă conexiuni logice între mecanica cuantică și mecanica statistică clasică, permițând o comparație naturală între cele două. Mecanica cuantică în spațiul de fază este adesea favorizată în anumite aplicații optice cuantice sau în studiul decoerenței și o serie de probleme tehnice specializate, deși formalismul este mai puțin frecvent utilizat în situații practice.

Ideile conceptuale care stau la baza dezvoltării mecanicii cuantice în spațiul de fază s-au ramificat în ramuri matematice, cum ar fi teoria deformării algebrice și geometria necomutativă.

Distribuția spațiului de fază

Distribuția spațiului de fază f(x,p) unei stări cuantice este o distribuție de quasiprobabilitate. În formularea spațiului de fază, distribuția spațiului de fază poate fi tratată ca o descriere fundamentală, primitivă, a sistemului cuantic, fără nicio referire la funcțiile de undă sau la matricele de densitate.

Există mai multe modalități diferite de a reprezenta distribuția, toate interdependente. Cea mai notabilă este reprezentarea lui Wigner, W(x,p), descoperită prima. Alte reprezentări (în ordinea descrescătoare a prevalenței în literatură) includ reprezentările Glauber-Sudarshan P, Husimi Q, Kirkwood-Rihaczek, Mehta, Rivier și Born-Jordan. Aceste alternative sunt cele mai utile atunci când hamiltonianul are o formă particulară, cum ar fi ordinea normală pentru reprezentarea Glauber-Sudarshan P.

Distribuția spațiului de fază are proprietăți asemănătoare densității de probabilitate într-un spațiu de fază 2n-dimensional. De exemplu, este evaluat real, spre deosebire de funcția de undă în general complexă. Putem înțelege probabilitatea de a sta într-un interval de pozitie, de exemplu, prin integrarea funcției Wigner pe tot impulsul si peste intervalul de pozitie:

P ⁡ [a ≤ X ≤ b] = ∫ a b ∫ – ∞ ∞ W (x, p) d p d x.

The phase-space distribution possesses properties akin to the probability density in a 2n-dimensional phase space. For example, it is real-valued, unlike the generally complex-valued wave function. We can understand the probability of lying within a position interval, for example, by integrating the Wigner function over all momenta and over the position interval:

P[a ≤ X ≤ b] = ∫ab−∞ W(x,p)dpdx .

Dacă Â(x,p) este un operator care reprezintă un observator, acesta poate fi mapat la spațiul de fază ca A(x,p) prin transformarea Wigner. În schimb, acest operator poate fi recuperat prin transformarea Weyl.

Valoarea medie a observabilei în raport cu distribuția spațiului de fază este

‹Â› = ∫A(x,p)W(x,p)dpdx.

Totuși, o observație: în ciuda similarității în aparență, W(x,p) nu este o adevărată distribuție de probabilitate comună, deoarece regiunile sub aceasta nu reprezintă stări exclusive, așa cum se cere în a treia axiomă a teoriei probabilității. În plus, ea poate, în general, să ia valori negative chiar și în cazul stărilor pure, cu excepția unică a stărilor coerente, încălcând prima axiomă.

Regiunile cu o astfel de valoare negativă se dovedesc a fi „mici”: ele nu se pot extinde la regiuni compacte mai mari decât câțiva ħ și, prin urmare, dispar în limita clasică. Acestea sunt protejate de principiul incertitudinii, care nu permite o localizare precisă în regiunile spațiului de fază mai mici decât ħ, ceea ce face astfel de „probabilități negative” mai puțin paradoxale. Dacă partea stângă a ecuației trebuie interpretată ca o valoare medie în spațiul Hilbert față de un operator, atunci în contextul opticii cuantice, această ecuație este cunoscută sub numele de teorema echivalenței optice.

O abordare alternativă a spațiului de fază în mecanica cuantică urmărește să definească o funcție de undă (nu doar o densitate de quasiprobabilitate) pe spațiul de fază, în mod tipic prin intermediul transformării Segal-Bargmann. Pentru a fi compatibil cu principiul incertitudinii, funcția de undă a spațiului de fază nu poate fi o funcție arbitrară, sau poate fi localizată într-o regiune arbitrar mică a spațiului de fază. Mai degrabă, transformarea Segal-Bargmann este o funcție holomorfă a lui x + ip. Există o densitate de quasiprobabilitate asociată funcției de undă a spațiului de fază; este reprezentarea Husimi Q a funcției de undă a poziției.

Evoluția timpului

Evoluția timpului distribuției spațiului de fază este dată de o modificare cuantică a fluxului Liouville. Această formulă rezultă din aplicarea transformării Wigner la versiunea matriceală a densității a ecuației cuantice Liouville, ecuația von Neumann.

În orice reprezentare a distribuției spațiilor de fază cu produsul stelar asociat, aceasta este

∂f∂t = -1/iℏ·(f★H – H★f),

sau, în special pentru funcția Wigner,

∂W/∂t = −{{W,H}} = −{W,H} + O(ℏ2)

unde {{,}} sunt parantezele Moyal, transformarea Wigner a comutatorului cuantic, în timp ce {,} este clasica paranteză Poisson.

Aceasta dă o ilustrare concisă a principiului corespondenței: această ecuație se reduce în mod evident la ecuația clasică Liouville în limita ħ → 0. În extensia cuantică a fluxului, cu toate acestea, densitatea punctelor din spațiul de fază nu este conservată; fluidul de probabilitate apare „difuziv” și comprimabil. Prin urmare, conceptul de traiectorie cuantică este o problemă delicată aici. (Având în vedere restricțiile impuse de principiul incertitudinii privind localizarea, Niels Bohr a negat viguros existența fizică a unor astfel de traiectorii la scară microscopică. Prin intermediul traiectoriilor în spațiul de fază formal, problema evoluției timpului a funcției Wigner poate fi rezolvată riguros folosind metoda integralei de cale și metoda caracteristicilor cuantice, deși în ambele cazuri există obstacole practice nefavorabile.) Vezi potențialul Morse de mai jos pentru a aprecia difuzarea rapidă a traiectoriilor potențiale.

Exemple

Potențial Morse

Potențialul Morse este folosit pentru a aproxima structura vibrațională a unei molecule diatomice.


(Evoluția temporală a funcției Wigner a potențialului Morse U(x) = 20(1 − e−0.16x)2 în unități atomice (u.a.). Liniile solide reprezintă setul de nivele al hamiltonianului H(x, p) = p2/2 + U(x).)

Tunelarea cuantică

Tunelarea este un efect cuantic distinctiv în care o particulă cuantică, care nu are suficientă energie pentru a trece pe deasupra, trece totuși printr-o barieră. Acest efect nu există în mecanica clasică.

(Funcția Wigner pentru tunelarea prin bariera potențială U(x) = 8e−0.25×2 în unitățile atomice (u.a.) .Liniile solide reprezintă setul de nivel al hamiltonianului H(x, p) = p2/2 + U(x).)

Potențialul quartic


(Evoluția temporală a funcției Wigner pentru potențialul quartic U(x) = 0.1x4 în unitățile atomice (u.a.). Liniile solide reprezintă setul de nivel al hamiltonianului  H(x, p) = p2/2 + U(x).)

Starea pisicii lui Schrödinger

(Funcția Wigner a două stări coerente care interferează prin hamiltonianul SHO. Proierțiile corespunzătoare ale impulsului și coordonatelor sunt reprezentate la dreapta și sub graficul spațiului de fază.)

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *