» » » » » Funcții proprii

Funcții proprii

În matematică, o funcție proprie a operatorului liniar D definită pe un anumit spațiu funcțional, este orice funcție nenulă f în acel spațiu care, atunci când se acționează asupra ei de D, este înmulțită doar cu un factor de scalare numit valoare proprie. Ca ecuație, această condiție poate fi scrisă ca

Df = λf (1)

pentru o anumită valoare scalară λ. Soluțiile la această ecuație pot fi, de asemenea, supuse condițiilor la limită care restrânge valorile proprii și funcțiile proprii.

O funcție proprie este un tip de vector propriu.

Din cauza condițiilor limită, valorile posibile ale lui λ sunt în general limitate, de exemplu, la un set discret λ1, λ2, … sau la un set continuu într-un anumit interval. Setul tuturor valorilor proprii ale lui D este numit uneori spectrul său, care poate fi discret, continuu sau o combinație a celor două.

Fiecare valoare a lui λ corespunde uneia sau mai multor funcții proprii. Dacă mai multe funcții proprii independente liniar au aceeași valoare proprie, se spune că valoarea proprie este degenerată, iar numărul maxim de funcții proprii independente liniar asociate cu aceeași valoare proprie este gradul de degenerare al valorii proprii sau multiplicitatea geometrică.

Exemplul de derivată

O clasă largă de operatori liniari care acționează asupra spațiilor dimensionale infinite sunt operatori diferențiali pe spațiul C al funcțiilor reale sau complexe infinit diferențiabile ale unui argument real sau complex t. De exemplu, luați în considerare operatorul derivare d/dt cu ecuația valorilor proprii

(d/dt)f(t) = λf(t).

Această ecuație diferențială poate fi rezolvată prin înmulțirea ambelor părți cu dt/f(t) și integrare. Soluția sa, funcția exponențială

f(t) = f0eλt,

este funcția proprie a operatorului derivat, în care f0 este un parametru care depinde de condițiile la limită. Rețineți că în acest caz funcția proprie este ea însăși o funcție a valorii proprii asociate λ, care poate lua orice valoare reală sau complexă. În special, rețineți că pentru λ = 0 funcția proprie f(t) este o constantă.

Să presupunem în exemplu că f(t) este supus condițiilor la limită f(0) = 1 și (df/dt)|t=0 = 2. Rezultă că găsim

f(t) = e2t,

unde λ = 2 este singura valoare proprie a ecuației diferențiale care satisface și condiția la limită.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *