» » » » » » » Gravitația în interiroul unei planete (Teorema carcasei)

Gravitația în interiroul unei planete (Teorema carcasei)

postat în: Gravitația 0

În mecanica clasică, teorema carcasei oferă simplificări gravitaționale care pot fi aplicate obiectelor din interiorul sau exteriorul unui corp sferic simetric.

Isaac Newton a demonstrat teorema carcasei și a declarat că:

  1. Un corp sferic simetric afectează gravitația obiectelor externe, ca și cum toată masa lor ar fi concentrată într-un punct situat în centrul său.
  2. Dacă corpul este o carcasă sferică simetrică (adică o bilă goală), nu este exercitată nicio forța gravitațională netă de carcasă asupra oricărui obiect interior, indiferent de amplasarea obiectului în interiorul carcasei.

Un corolar este că, în interiorul unei sfere solide de densitate constantă, forța gravitațională variază liniar cu distanța de la centru, devenind zero prin simetrie în centrul masei. Acest lucru poate fi văzut după cum urmează: luați un punct într-o astfel de sferă, la o distanță r de la centrul sferei. Apoi, puteți ignora toate carcasele cu o rază mai mare, conform teoremei carcasei. Deci, masa m rămasă este proporțională cu r3, și forța gravitațională exercitată asupra ei este proporțională cu m/r2, deci r3/r2 = r, deci este liniară în r.

Aceste rezultate au fost importante pentru analiza de către Newton a mișcării planetare; acestea nu sunt imediat evidente, dar pot fi dovedite prin calcul. (Alternativ, legea lui Gauss pentru gravitație oferă o modalitate mult mai simplă de a demonstra aceleași rezultate.)

Mai mult, rezultatele pot fi generalizate în cazul corpurilor elipsoidale generale.

Teorema carcasei este o consecință imediată a legii lui Gauss pentru gravitație. Câmpul gravitațional al unei distribuții de masă simetrică sferică, cum ar fi un punct de masă, o carcasă sferică sau o sferă omogenă, trebuie de asemenea să fie sferic simetric.

Dovezile lui Newton

Propozițiile 70 și 71 ale lui Newton consideră forța care acționează asupra unei particule dintr-o sferă goală cu o suprafață infinit de subțire, a cărei densitate de masă este constantă pe suprafață. Forța asupra particulei dintr-o zonă mică a suprafeței sferei este proporțională cu masa zonei și invers proporțională cu pătratul distanței sale față de particulă. Prima propoziție ia în considerare cazul când particula se află în interiorul sferei, a doua când este în exterior. Utilizarea infinitezimalilor și a proceselor limitative în construcțiile geometrice sunt simple și elegante și evită necesitatea integrării. Ele ilustrează bine metoda lui Newton de a dovedi multe dintre propozițiile din Principia.

Dovada lui a Propoziției 70 este trivială. Dovada Propoziției 71 este mai semnificativă din punct de vedere istoric. Formează prima parte a dovezii sale conform căreia forța gravitațională a unei sfere solide care acționează asupra unei particule din afara ei este invers proporțională cu pătratul distanței sale față de centrul sferei, cu condiția ca densitatea în orice punct al sferei să fie o funcție numai de distanța sa de la centrul sferei.

Forța pe un punct în interiorul unei sfere goale

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Attraction_Interior_Sphere.png

Figura 2 este o secțiune transversală a sferei goale prin centrul, S și un punct arbitrar, P, în interiorul sferei. Prin P trageți 2 linii IL și HK astfel încât unghiul KPL este foarte mic. JM este linia prin P care bisectează acest unghi. Din geometria cercurilor, triunghiurile IPH și KPL sunt similare. Liniile KH și IL sunt rotite în jurul axei JM pentru a forma 2 conuri care intersectează sfera în 2 curbe închise. În figura 1, sfera este văzută de la o distanță de-a lungul liniei PE și este presupusă transparentă, astfel încât să poată fi văzute ambele curbe.

Suprafața sferei pe care se intersectează conurile poate fi considerată plată și unghiurile PJI = PMK.

Deoarece intersecția unui con cu un plan este o elipsă, în acest caz intersecțiile formează 2 elipse cu axele majore IH și KL, unde IH/KL = PJ/PM.

Printr-un argument similar, axele minore sunt în același raport. Acest lucru este clar dacă sfera este văzută de sus. Prin urmare, cele două elipse sunt similare, astfel încât zonele lor sunt ca pătratele axelor lor majore. Deoarece masa oricărei secțiuni a suprafeței este proporțională cu aria secțiunii respective, pentru cele două zone eliptice rapoartele maselor lor ~ PJ2/PM2

Deoarece forța de atracție pe P în direcția JM din oricare dintre zonele eliptice este direct proporțională cu masa ariei și invers proporțională cu pătratul distanței sale față de P, ea este independentă de distanța P din sferă. Prin urmare, forțele pe P din cele două zone infinitezimale eliptice sunt egale și opuse și nu există o forță netă în direcția JM.

Deoarece poziția lui P și direcția lui JM sunt ambele arbitrare, rezultă că asupra oricărei particule din interiorul unei sfere goale nu se exercită nicio forță netă din masa sferei.

Notă: Newton descrie pur și simplu arcele IH și KL ca fiind „minimal mici”, iar zonele trasate de liniile IL și HK pot avea orice formă, nu neapărat eliptice, dar ele vor fi întotdeauna similare.

Modelul preliminar de referință al pământului (PREM)
Gravitația Pământului în funcție de PREM
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:EarthGravityPREM.jpg 

(Gravitația Pământului în funcție de PREM.) Curbele verzi prezintă pământuri ipotetice cu densitate constantă (întreruptă) și descrescătoare liniar de la centru la suprafață.)

Modelul preliminar de referință al pământului (PREM) este un model unidimensional reprezentând proprietățile medii ale Pământului ca o funcție a razei planetare. Acesta include proprietățile elastice, atenuarea, densitatea, presiunea și gravitația, în funcție de raza planetară.

PREM a fost utilizat pe scară largă ca bază pentru tomografia seismică și modele geofizice globale aferente. Acesta încorporează dispersia anelastică și anizotropia și, prin urmare, este dependentă de frecvență și transversal izotropă pentru mantaua superioară.

PREM a fost elaborat de Adam M. Dziewonski și Don L. Anderson ca răspuns la liniile directoare ale unui „Comitet pentru modelul standard al Pământului” al Asociației Internaționale de Geodezie (IAG) și al Asociației Internaționale de Seismologie și Fizică a Interiorului Pământului (IASPEI). Alte modele de referință ale Pământului includ iasp91 și ak135.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *