» » » » » » Gravitația și geometria în relativitatea generală

Gravitația și geometria în relativitatea generală

Parafrazându-l pe John Wheeler, teoria geometrică a gravitației lui Einstein poate fi rezumată astfel: spațiu-timpul spune materiei cum să se miște; materia spune spațiului cum să se curbeze.

Investigarea câmpului gravitațional

Convergența geodezicelor
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:Earth_geo.png

(Convergența geodezicelor: două linii de longitudine (verde) care încep ca paralele la ecuator (roșu), dar converg pentru a se întâlni la pol.)

Pentru a mapa influența gravitațională a unui corp, este util să ne gândim la ceea ce numesc fizicienii particule de investigare sau testare: particule care sunt influențate de gravitație, dar sunt atât de mici și ușoare încât putem neglija propriul efect gravitațional. În absența gravitației și a altor forțe externe, o particulă de test se deplasează de-a lungul unei linii drepte la o viteză constantă. În limbaj spațiu-timp, aceasta este echivalent cu a spune că astfel de particule de test se deplasează de-a lungul liniilor de univers drepte în spațiu-timp. În prezența gravitației, spațiu-timpul este non-euclidian sau curbat, iar în spațiu-timp curbat liniile de univers drepte nu pot exista. În schimb, particulele de test se deplasează pe linii numite geodezice, care sunt „cât mai drepte posibil”, adică urmează calea cea mai scurtă dintre punctele de plecare și de final, ținând cont de curbură.

O analogie simplă este următoarea: În geodezie, știința de măsurare a mărimii și formei Pământului, o geodezică (de la „geo” greacă, Pământ și „daiein”, a diviza) este cea mai scurtă rută dintre două puncte de pe suprafața Pământului. Aproximativ, o astfel de rută este un segment al unui cerc mare, cum ar fi o linie de longitudine sau ecuatorul. Aceste căi nu sunt cu siguranță drepte, pur și simplu pentru că trebuie să urmeze curbura suprafeței Pământului. Dar ele sunt la fel de drepte cu cât este posibil sub rezerva acestei constrângeri.

Proprietățile geodezice diferă de cele ale liniilor drepte. De exemplu, într-un plan, liniile paralele nu se întâlnesc niciodată, dar acest lucru nu este valabil pentru geodezicele de pe suprafața Pământului: de exemplu, liniile de longitudine sunt paralele la ecuator, dar se intersectează la poli. În mod analog, liniile de univers ale particulelor de test în cădere liberă sunt geodezice spațiale, cele mai lineare posibile în spațiu. Dar totuși există diferențe esențiale între ele și liniile cu adevărat drepte care pot fi trasate în spațiu-timp fără gravitație al relativității speciale. În relativitatea specială, geodezica paralelă rămâne paralelă. Într-un câmp gravitațional cu efecte de maree, acest lucru nu va fi, în general, cazul. Dacă, de exemplu, două corpuri sunt inițial în repaus unul față de celălalt, dar sunt apoi aruncate în câmpul gravitațional al Pământului, ele se vor deplasa unul către altul în timp ce se îndreaptă spre centrul Pământului.

În comparație cu planetele și alte corpuri astronomice, obiectele din viața de zi cu zi (oameni, mașini, case, chiar munți) au puțină masă. În cazul unor astfel de obiecte, legile care guvernează comportamentul particulelor de testare sunt suficiente pentru a descrie ce se întâmplă. În special, pentru a deflecta o particulă de test de pe traseul său geodezic, trebuie aplicată o forță exterioară. Un scaun pe care cineva șede aplică o forță externă în sus, împiedicând persoana să cadă în mod liber spre centrul Pământului și urmând astfel o geodezică. În acest fel, relativitatea generală explică experiența zilnică a gravitației de pe suprafața Pământului nu ca o tragere în jos a unei forțe gravitaționale, ci ca o împingere a forțelor externe în sus. Aceste forțe deflectă toate corpurile care se sprijină pe suprafața Pământului de geodezice pe care altfel le-ar urma. Pentru obiectele materiale a căror influență gravitațională proprie nu poate fi neglijată, legile mișcării sunt oarecum mai complicate decât pentru particulele de test, deși rămâne adevărat că spațiu-timpul spune materiei cum să se miște.

Surse de gravitație

În descrierea lui Newton despre gravitașiei, forța gravitațională este cauzată de materie. Mai precis, este cauzată de o proprietate specifică a obiectelor materiale: masa lor. În teoria lui Einstein și în teoriile legate de gravitație, curbura în orice punct al spațiu-timpului este cauzată de asemenea de materia este prezentă. Și aici, masa este o proprietate-cheie în determinarea influenței gravitaționale a materiei. Dar într-o teorie relativistă a gravitației, masa nu poate fi singura sursă de gravitație. Relativitatea relaționează masa cu energia și energia cu impulsul.

Echivalența dintre masă și energie, exprimată prin formula E = mc2, este cea mai cunoscută consecință a relativității speciale. În relativitate, masa și energia sunt două modalități diferite de a descrie o cantitate fizică. Dacă un sistem fizic are energie, acesta are și masă corespunzătoare, și invers. În particular, toate proprietățile unui corp care sunt asociate cu energia, cum ar fi temperatura sau energia de legătură a sistemelor, cum ar fi nucleele sau moleculele, contribuie la masa organismului și, prin urmare, acționează ca surse de gravitație.

În relativitatea specială, energia este strâns legată de impuls. Așa cum spațiul și timpul sunt, în teoria aceasta, diferite aspecte ale unei entități mai cuprinzătoare numite spațiu, energia și impulsul sunt aspecte diferite ale unei cantitati unificate, patru-dimensionale pe care fizicienii o numesc cvadri-impuls. În consecință, dacă energia este o sursă de gravitație, impulsul trebuie să fie și el o sursă. Același lucru este valabil și pentru cantitățile care sunt direct legate de energie și impuls, și anume presiunea internă și tensiunea. Luate împreună, în relativitatea generală masa, energia, impulsul, presiunea și tensiunea servesc ca surse de gravitație: ele sunt modul în care materia spune spațiu-timpului cum să se curbeze. În formularea matematică a teoriei, toate aceste cantități sunt doar aspecte ale unei cantități fizice mai generale numite tensor energetic-impuls.

Ecuațiile lui Einstein

Ecuațiile lui Einstein sunt elementul central al relativității generale. Acestea oferă o formulă precisă a relației dintre geometria spațială și proprietățile materiei, folosind limbajul matematic. Mai concret, ele sunt formulate folosind conceptele geometriei riemanniene, în care proprietățile geometrice ale unui spațiu (sau spațiu-timp) sunt descrise de o cantitate numită metrică. Metrica codifică informațiile necesare pentru a calcula noțiunile geometrice fundamentale ale distanței și unghiului într-un spațiu curbat (sau în spațiu-timp).

Distanțe la latitudini diferite
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:Metric_globe.png

(Distanțe, la latitudini diferite, care corespund diferenței de 30 de grade în longitudine.)

O suprafață sferică precum cea a Pământului oferă un exemplu simplu. Locația oricărui punct de pe suprafață poate fi descrisă de două coordonate: latitudinea și longitudinea geografică. Spre deosebire de coordonatele carteziane ale planului, diferențele de coordonate nu sunt aceleași cu distanțele de pe suprafață, așa cum se arată în imagine: pentru cineva de la ecuator, care se deplasează la 30 de grade longitudine spre vest (linia magenta) corespunde unei distanțe de aproximativ 3.300 km. Pe de altă parte, cineva la o altitudine de 55 de grade, care se deplasează la 30 de grade longitudine spre vest (linia albastră), acoperă o distanță de numai 1.900 de kilometri. Coordonatele, prin urmare, nu oferă suficiente informații pentru a descrie geometria unei suprafețe sferice sau, într-adevăr, geometria unui spațiu mai complicat sau spațiu-timp. Această informație este tocmai ceea ce este codificat în metrică, care este o funcție definită în fiecare punct al suprafeței (sau spațiu sau spațiu-timp) și corelează diferențele de coordonate cu diferențele de distanță. Toate celelalte cantități care prezintă interes în geometrie, cum ar fi lungimea oricărei curbe date sau unghiul la care se întâlnesc două curbe, pot fi calculate din această funcție metrică.

Funcția metrică și rata de schimbare de la punct la punct pot fi folosite pentru a defini o cantitate geometrică numită tensor de curbură Riemann, care descrie exact modul în care spațiul sau spațiu-timpul sunt curbate în fiecare punct. În relativitatea generală, metrica și tensorul de curbură Riemann sunt cantități definite în fiecare punct în spațiu-timp. Așa cum am menționat deja, conținutul în materie al spațiu-timpului definește o altă cantitate, tensorul energie-impuls T, și principiul că „spațiu-timul spune materiei cum să se miște și materia spune spațiu-timpuylui cum să se curbeze” înseamnă că aceste cantități trebuie să fie legate una de alta. Einstein a formulat această relație folosind tensorul de curbură Riemann și metrica pentru a defini o altă cantitate geometrică G, numită acum tensorul Einstein, care descrie unele aspecte ale modului în care spațiu-timpul este curbat. Ecuația lui Einstein afirmă astfel că

G = (8πG/c4T,

adică, până la un multiplu constant, cantitatea G (care măsoară curbura) este egală cu cantitatea T (care măsoară conținutul materiei). Aici, G este constanta gravitațională a gravitației newtoniene, și c este viteza luminii din relativitatea specială.

Această ecuație este adesea menționată la plural ca ecuațiile lui Einstein, deoarece cantitățile G și T sunt determinate fiecare de mai multe funcții ale coordonatelor spațiu-timp, iar ecuațiile echivalează fiecare dintre aceste funcții componente. O soluție a acestor ecuații descrie o anumită geometrie a spațiu-timpului; de exemplu, soluția Schwarzschild descrie geometria în jurul unei mase sferice, ne-rotative, cum ar fi o stea sau o gaură neagră, în timp ce soluția Kerr descrie o gaură neagră rotativă. Încă alte soluții pot descrie o undă gravitațională sau, în cazul soluției Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, un univers în expansiune. Soluția cea mai simplă este spațiul temporal Minkowski, spațiu-timp descris de relativitatea specială.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *