» » » » » » Logica modală a lui Saul Kripke

Logica modală a lui Saul Kripke

postat în: Logica 1

Model Kripke pentru logica temporală liniară(Exemplu de model Kripke pentru logica temporală liniară, o logică modală particulară)

Două dintre lucrările anterioare ale lui Kripke, Teorema unei completitudini în logica modală și Considerentele semantice privind logica modală, prima scrisă când era adolescentă, se afla pe logica modală. Cele mai cunoscute logici din familia modală sunt construite dintr-o logică slabă numită K, numită după Kripke. Kripke a introdus semantica Kripke (cunoscută și ca semantică relațională sau semantică cadru) pentru logica modală. Semantica Kripke este o semantică formală pentru sistemele logice non-clasice. Ea a fost făcută mai întâi pentru logica modală și mai târziu adaptată la logica intuiționistă și la alte sisteme non-clasice. Descoperirea semanticii Kripke a reprezentat un progres în realizarea logicii non-clasice, deoarece teoria modelului unor astfel de logici a fost absentă anterior lui Kripke.

Un cadru Kripke sau un cadru modal este o pereche ‹ W, R, ╟ ›, unde W este un set non-gol și R este o relație binară asupra W. Elementele W sunt numite noduri sau lumi și R este cunoscut ca relația de accesibilitate . În funcție de proprietățile relației de accesibilitate (tranzitivitate, reflexivitate etc.), cadrul corespunzător este descris, prin extensie, ca fiind tranzit, reflexiv etc.

Un model Kripke este un triple ⟨W, R, ⊩⟩, unde ‹ W, R › este un cadru Kripke și ╟  este o relație între nodurile W și formulele modale, astfel încât:

  • w ╟ ¬ A dacă și numai dacă w ╟/ A,
  • w ╟  A → B dacă și numai dacă w ╟/ A sau w ╟ B,
  • w ╟ ◻ A dacă și numai dacă ∀ u (w R u implică u ╟ A).

Citim w ╟ A dacă „w satisface A”, „A este satisfăcut în w”, sau „w forțează A”. Relația ╟ se numește relația de satisfacere, de evaluare sau de forțare. Relația de satisfacere este determinată în mod unic de valoarea sa pe variabilele propoziționale.

O formulă A este validă în:

  • un model ‹ W, R, ╟ ›, dacă w ╟ A pentru toate w ɛ W,
  • un cadru ‹ W, R ›, dacă este valabil în ‹ W, R, ╟ › pentru toate alegerile posibile ale lui ╟,
  • o clasă C de cadre sau modele, dacă este valabilă în fiecare membru al grupului C.

Definim Thm (C) a fi setul tuturor formulelor care sunt valabile în C. În schimb, dacă X este un set de formule, lăsați Mod (X) să fie clasa tuturor cadrelor care validează fiecare formulă din X.

O logică modală (adică un set de formule) L este bine în raport cu o clasă de cadre C, dacă L ⊆ Thm (C). L este completă cu privire la C dacă L ⊇ Thm (C).

Semantica este utilă pentru investigarea unei logici (adică a unui sistem derivat) numai dacă relația semantică implică reflectarea contrapartidei sale sintactice, relația de consecință (derivabilitate). Este vital să aflăm care logice modale sunt sigure și complete cu privire la o clasă de cadre Kripke și pentru ele, pentru a determina ce clasă este.

Pentru orice clasă C a cadrelor Kripke, Thm (C) este o logică modală normală (în special, teoremele logicii modale minime normale, K, sunt valabile în fiecare model Kripke). Cu toate acestea, conversația nu se menține în general. Există logici modale normale incomplete Kripke, care nu sunt probleme, deoarece majoritatea sistemelor modale studiate sunt complete ale claselor de cadre descrise în condiții simple.

O logică modală normală L corespunde unei clase de cadre C, dacă C = Mod (L). Cu alte cuvinte, C este cea mai mare clasă de cadre astfel încât L este sunet wrt C. Rezultă că L este Kripke completă dacă și numai dacă este completă a clasei corespunzătoare.

Luați în considerare schema T: ◻ A → A. T este valabil în orice cadru reflexiv ⟨W, R⟩: dacă w ⊩ ◻ A, atunci w ⊩ A deoarece w R w. Pe de altă parte, un cadru care validează T trebuie să fie reflexiv: fix w ∈ W și să definească satisfacția unei variabile propositionale p după cum urmează: u ⊩ p dacă și numai dacă w R u. Apoi w ⊩ ◻ p, deci w ⊩ p de T, ceea ce înseamnă w R w folosind definiția lui ⊩. T corespunde clasei de cadre Kripke reflexive.

Este adesea mult mai ușor să caracterizezi clasa L corespunzătoare decât să-i dovedești exhaustivitatea, astfel încât corespondența servește ca un ghid al dovezilor de completitudine. Corespondența este de asemenea folosită pentru a arăta incompletența logicilor modale: presupunem că L1 ⊆ L2 sunt logici modale normale care corespund aceleiași clase de cadre, dar L1 nu demonstrează toate teoremele lui L2. Atunci L1 este Kripke incompletă. De exemplu, schema ◻ (A ≡ ◻ A) → ◻ A generează o logică incompletă, deoarece corespunde aceleiași clase de cadre ca GL (adică cadre transitive și inverse bine fundamentate), dar nu dovedește că GL- tautologie ◻ A → ◻ ◻ A.

  1. […] (Exemplu de model Kripke pentru logica temporală liniară, o logică modală particulară) Două dintre lucrările anterioare ale lui Kripke, Teorema unei completitudini în logica modală și Considerentele semantice privind logica modală, prima scrisă când era adolescentă, se afla pe logica … Citeşte mai mult […]

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *