» » » » » » Logica propozițională

Logica propozițională

postat în: Logica 1

Calculul propozițional este o ramură a logicii. Se mai numește logica propozițională, logica declarației, calculul sentențial, logica sentențială sau, uneori, logica de ordin zero. Se ocupă de propoziții (care pot fi adevărate sau false) și fluxul de argumentare. Propozițiile compuse sunt formate prin conectarea propozițiilor prin conectori logici. Propozițiile fără conectori logici sunt numite propoziții atomice.

Spre deosebire de logica de ordinul întâi, logica propozițională nu se ocupă de obiecte non-logice, predicate despre ele sau cuantificatori. Cu toate acestea, toate mecanismele logicii propoziționale sunt incluse în logica de ordinul întâi și în logica de ordin superior. În acest sens, logica propozițională este fundamentul logicii de ordinul întâi și al logicii de ordin superior.

Explicaţie

Conectorii logici se găsesc în limbile naturale. În română, de exemplu, unele exemple sunt „și” (conjuncție), „sau” (disjuncție), „nu” (negare) și „dacă” (dar numai când se utilizează pentru a denumi implicația logică).

Următorul este un exemplu al unei inferențe foarte simple în cadrul logicii propoziționale:

Premisa 1: Dacă plouă, atunci este noros.
Premisa 2: Va ploua.
Concluzie: Este noros.

Ambele premise și concluzia sunt propoziții. Premisele sunt considerate date și apoi prin aplicarea modus ponens (o regulă de inferență) urmează concluzia.

Deoarece logica propozițională nu este preocupată de structura propozițiilor dincolo de punctul în care ele nu mai pot fi descompuse prin conectori logici, această inferență poate fi redeclarată înlocuind acele declarații atomice cu litere de declarație, interpretate ca variabile care reprezintă declarații:

Premisa 1: PQ
Premisa 2: P
Concluzie: Q

Același lucru se poate spune succint în felul următor:

PQ, PQ

Când P este interpretată ca fiind „plouă” și Q este „noros”, expresiile simbolice de mai sus pot fi văzute ca corespunzând exact cu expresia originală în limba naturală. Nu numai asta, dar vor corespunde, de asemenea, oricărei alte inferențe a acestei forme, care va fi valabilă pe aceeași bază ca și această inferență.

Logica propozițională poate fi studiată printr-un sistem formal în care formulele unei limbi formale pot fi interpretate pentru a reprezenta propoziții. Un sistem de reguli de inferență și axiome permite să se deducă anumite formule. Aceste formule derivate sunt numite teoreme și pot fi interpretate ca fiind propoziții adevărate. O secvență construită din astfel de formule este cunoscută ca o derivare sau dovadă iar ultima formulă a secvenței este teorema. Derivarea poate fi interpretată ca dovadă a propoziției reprezentate de teoremă.

Atunci când un sistem formal este folosit pentru a reprezenta logica formală, doar literele de declarație sunt reprezentate direct. Propozițiile de limbaj natural care apar atunci când sunt interpretate sunt în afara sferei de aplicare a sistemului, iar relația dintre sistemul formal și interpretarea sa este, de asemenea, în afara sistemului formal.

În logica propozițională funcțională pe bază de adevăr clasică, formulele sunt interpretate ca având exact una din cele două posibile valori ale adevărului, adevărat sau fals. Se admit principiul bivalenței și legea mediei excluse. Logica propozițională funcțională pe bază de adevăr astfel definită și sistemele izomorfe pentru aceasta sunt considerate a fi logica de ordinul zero. Cu toate acestea, sunt posibile logici alternative propoziționale.

Istorie

Deși logica propozițională (care este interschimbabilă cu calculul propozițional) a fost sugerată de filosofi mai demult, ea a fost dezvoltată într-o logică formală (logica stoică) de către Chrysippus în secolul III î.e.n. și extinsă de succesorii săi stoici. Logica s-a concentrat pe propoziții. Această evoluție a fost diferită de cea a logicii tradiționale silogistice care se concentra pe termeni. Cu toate acestea, ulterior în antichitate, logica propozițională dezvoltată de stoici nu a mai fost înțeleasă. În consecință, sistemul a fost reinventat în esență de către Peter Abelard în secolul al XII-lea.

Logica propozițională a fost în cele din urmă perfecționată folosind logica simbolică. Matematicianul din secolul al XVII-lea și al XVIII-lea, Gottfried Leibniz, a fost creditat ca fiind fondatorul logicii simbolice prin lucrarea sa cu calculus ratiocinator. Deși munca sa a fost prima de acest fel, nu a fost cunoscută comunității logice mai largi. În consecință, multe dintre progresele realizate de Leibniz au fost recreate de logicieni precum George Boole și Augustus De Morgan complet independent de Leibniz.

Așa cum logica propozițională poate fi considerată o dezvoltare din logica silogistică anterioară, logica predicatelor a lui Gottlob Frege a fost o dezvoltare din logica propozițională anterioară. Un autor descrie logica predicatelor o combinație a „trăsăturilor distinctive ale logicii silogistice și logicii propoziționale”. În consecință, logica predicatelor a inaugurat o nouă eră în istoria logicii; cu toate acestea, progresele în logica propozițională au continuat după Frege, inclusiv Deducerea Naturală, Arborii Adevărului și Tabelele de Adevăr. Deducerea naturală a fost inventată de Gerhard Gentzen și Jan Łukasiewicz. Arborii adevărului au fost inventate de Evert Willem Beth. Inventarea tabelelor de adevăr are, totuși, o atribuire incertă.

În lucrările lui Frege și Bertrand Russell, ideile influențează inventarea tabelele de adevăr. Structura tabulară reală (fiind formatată ca un tabel), în sine, este, în general, creditată fie lui Ludwig Wittgenstein, fie lui Emil Post (sau ambilor, în mod independent). Pe lângă Frege și Russell, alții sunt creditați cu idei care preced tablele de adevăr inclusiv Philo, Boole, Charles Sanders Peirce și Ernst Schröder. Alții care au fost creditați cu structura tabulară includ pe Jan Łukasiewicz, Ernst Schröder, Alfred North Whitehead, William Stanley Jevons, John Venn și Clarence Irving Lewis. În cele din urmă, unii au ajuns la concluzia, ca John Shosky, că „nu este clar că o singură persoană ar trebui să primească titlul de” inventator „al tablelor de adevăr.”

Terminologie

În termeni generali, un calcul este un sistem formal care constă dintr-un set de expresii sintactice (formule bine formate), un subset distinct al acestor expresii (axiome), plus un set de reguli formale care definesc o relație binară specifică, destinată să fie interpretat ca o echivalență logică, în spațiul expresiilor.

Atunci când sistemul formal este destinat a fi un sistem logic, expresiile sunt menite să fie interpretate ca declarații, iar regulile, cunoscute ca reguli de inferență, sunt de obicei menite să prezerve adevărul. În acest context, regulile (care pot include axiome) pot fi apoi folosite pentru a deriva („infera”) formulele care reprezintă declarații adevărate din formule date care reprezintă declarații adevărate.

Setul de axiome poate fi gol, un set finit negol, sau un set infinit numărabil. O gramatică formală definește recursiv expresiile și formulele bine formate ale limbii. În plus, poate fi dată o semantică care definește adevărul și evaluările (sau interpretările).

Limba unui calcul propozițional constă din

  1. un set de simboluri primitive, numite în mod diferit ca formule atomice, substituenți, litere de propoziții sau variabile, și
  2. un set de simboluri operator, interpretate în mod diferit ca operatori logici sau conectori logici.

O formulă bine formată este orice formulă atomică sau orice formulă care poate fi construită din formule atomice prin intermediul simbolurilor operatorilor în conformitate cu regulile gramaticii.

Matematicienii disting uneori între constante propoziționale, variabile propoziționale, și scheme. Constantele propoziționale reprezintă o propoziție particulară, în timp ce variabilele propoziționale variază de-a lungul setului de propoziții atomice. Schema, cu toate acestea, variază deasupra tuturor propozițiilor. Este comună reprezentarea constantelor propoziționale prin A, B și C, variabilele propoziționale prin P, Q și R, iar literele schemelor sunt adesea litere grecești, cel mai adesea φ, ψ, și χ.

  1. […] Calculul propozițional este o ramură a logicii. Se mai numește logica propozițională, logica declarației, calculul sentențial, logica sentențială sau, uneori, logica de ordin zero. Se ocupă de propoziții (care pot fi adevărate sau false) și fluxul de argumentare. Propozițiile compuse … Citeşte mai mult […]

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *