» » » » » » Momentul unghiular în mecanica cuantică

Momentul unghiular în mecanica cuantică

Momentul unghiular în mecanica cuantică diferă în multe aspecte profunde de momentul unghiular în mecanica clasică. În mecanica cuantică relativistă, acesta diferă și mai mult, definiția relativistă devenind un operator tensorial.

Moment ungiular de spin, orbital, și total

Momentul unghiular al unui obiect clasic (Momentul unghiular al unui obiect clasic Stânga: Momentul unghiular de „spin” este un moment unghiular orbital al obiectului în orice punct. Dreapta: Momentul unghiular orbital extrinsec L în jurul unei axe. Sus: Momentul tensorului inerțial I și vitezei unghiulare ω (L nu este întotdeauna paralel cu ω). Jos: Momentul p și poziția sa radială r de la axă Momentul unghiular total (de spin plus orbital) este J. Pentru o particulă cuantică interpretările sunt diferite, spinul particulelor nu are interpretarea de mai sus.)

Definiția clasică a momentul unghiular ca L = r × p poate fi transferată mecanicii cuantice, prin reinterpretarea lui r ca operator de poziție cuantică și p ca a operatorului de impuls cuantic. L este atunci un operator, denumit în mod specific operatorul momentului unghiular orbital. Componentele operatorului momentului unghiular satisfac relațiile de comutație ale algebrului Lie so(3). Într-adevăr, acești operatori sunt tocmai acțiunea infinitezimală a grupului de rotație pe spațiul Hilbert cuantic.

Cu toate acestea, în fizica cuantică, există un alt tip de moment unghiular, numit momentul unghiular de spin, reprezentat de operatorul de spin S. Aproape toate particulele elementare au spin. Spinul este deseori descris ca o particulă care se rotește literalmente în jurul unei axe, dar aceasta este o imagine înșelătoare și inexactă: spinul este o proprietate intrinsecă a unei particule, fără legătură cu orice fel de mișcare în spațiu și fundamental diferită de momentul unghiular orbital. Toate particulele elementare au un spin caracteristic, de exemplu electronii au „spin 1/2” (aceasta inseamna de fapt „spin ħ/2”) în timp ce fotonii au „spin 1” (asta inseamna „spin ħ”).

În cele din urmă, există un moment unghiular total J, care combină momentul unghiular de spin și orbitalul al tuturor particulelor și câmpurilor. (Pentru o particulă, J = L + S.) Conservarea momentului unghiular se aplică la J, dar nu la L sau S; de exemplu, interacțiunea spin-orbită permite momentului unghiular să se transfere înainte și înapoi între L și S, cu constanta totală rămasă. Electronii și fotonii nu trebuie să aibă valori bazate pe numere întregi pentru un moment unghiular total, dar pot avea și valori fracționare.

Cuantizarea

În mecanica cuantică, momentul unghiular este cuantificat – adică nu poate varia în mod continuu, ci numai în „salturi cuantice” între anumite valori admise. Pentru orice sistem, se aplică următoarele restricții privind rezultatele măsurării, unde este constanta Planck redusă și este orice vector Euclidian cum ar fi x, y sau z:

Dacă măsurați… Rezultatul poate fi…
L … , −2ℏ , −ℏ , 0 , ℏ , 2ℏ , …
S … , −3/2 ℏ , −ℏ , − 1/2 ℏ , 0 , 1/2 ℏ , ℏ , 3/2 ℏ , …
L2 = Lx2 + Ly2 + Lz2 ( ℏ2n( n + 1 ) ) , unde n = 0 , 1 , 2 , …
S2  sau J2 ( ℏ2n( n + 1 ) ) , unde n = 0 , 1/2 , 1 , 3/2 , …

Există și restricții suplimentare, conform operatorului momentului unghiular.

Constanta redusă Planck este mică pentru standardele cotidiene, aproximativ 10-34 J s și, prin urmare, această cuantizare nu afectează semnificativ momentul unghiular al obiectelor macroscopice. Cu toate acestea, este foarte important în lumea microscopică. De exemplu, structura învelișurilor de electroni și a subînvelișurilor în chimie este semnificativ afectată de cuantificarea momentului unghiular.

Cuantificarea momentului unghiular a fost inițial postulată de Niels Bohr în modelul lui Bohr al atomului și mai târziu a fost prezisă de Erwin Schrödinger în ecuația lui Schrödinger.

Incertitudinea

În definiția L = r × p sunt implicați șase operatori: Operatorii de poziție rx, ry, rz și operatorii de impulsuri px, py, pz. Cu toate acestea, principiul incertitudinii lui Heisenberg ne spune că nu este posibil ca toate cele șase dintre aceste cantități să fie cunoscute simultan cu o precizie arbitrară. Prin urmare, există limite pentru ceea ce poate fi cunoscut sau măsurat despre un moment unghiular al particulelor. Se pare că cel mai bun lucru care se poate face este măsurarea simultană a magnitudinii vectorului moment unghiular și a componentei sale de-a lungul unei axe.

Incertitudinea este strâns legată de faptul că diferitele componente ale unui operator de moment unghiular nu comută, de exemplu LxLy ≠ LyLx.

Momentul unghiular total ca generator de rotații

Așa cum am menționat mai sus, momentul unghiular orbital L este definit ca în mecanica clasică: L = r × p, dar momentul unghiular total J este definit într-un mod diferit, mai fundamental: J este definit ca „generator de rotații”. Mai precis, J este definit astfel încât operatorul

R(n̂,ϕ) ≡ exp(-(i/ℏ)ϕJ·n̂)

este operatorul de rotație care ia orice sistem și îl rotește cu un unghi ϕ în jurul axei . („exp” în formula se referă la operatorul exponențial) Pentru a pune acest lucru invers, indiferent de spațiul nostru Hilbert cuantic, ne așteptăm ca grupul de rotație SO(3) să acționeze asupra acestuia. Există apoi o acțiune asociată algebrei Lie so(3) a lui SO(3); operatorii care descriu acțiunea lui so(3) pe spațiul nostru Hilbert sunt operatorii de moment unghiular (total).

Relația dintre operatorul momentului unghiular și operatorii de rotație este aceeași cu relația dintre algebrele Lie și grupurile Lie în matematică. Relația strânsă dintre momentul unghiular și rotații se reflectă în teorema lui Noether, care demonstrează că momentul unghiular este conservat ori de câte ori legile fizicii sunt invariabile rotativ.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *