Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica » Momentul unghiular

Momentul unghiular

postat în: Mecanica 0

În fizică, momentul unghiular (numit uneori momentul cinetic, impulsul unghiular sau momentul de rotație) este echivalentul rotațiomal al impulsului liniar. Este o cantitate importantă în fizică deoarece este o cantitate conservată – impulsul total unghiular al unui sistem rămâne constant, dacă nu este acționat de un cuplu extern.

În trei dimensiuni, momentul unghiular pentru o particulă punctuală este un pseudovector r×p, produsul încrucișat al vectorului de poziție a particulei r (relativ la o anumită origine) și vectorul său impuls p = mv. Această definiție poate fi aplicată fiecărui punct în continuu, ca solidele sau fluidele, sau câmpurile fizice. Spre deosebire de impuls, momentul unghiular depinde de locul unde se alege originea, deoarece poziția particulei este măsurată de acolo. Vectorul momentului unghiular al unei particule punctuale este paralel și direct proporțional cu vectorul de viteză unghiulară ω al particulei (cât de repede se schimbă poziția ei unghiulară), unde constanta proporționalității depinde atât de masa particulei, cât și de distanța de la origine. Pentru corpurile rigide continue, totuși, viteza unghiulară de rotație ω este proporțională, dar nu întotdeauna paralelă cu momentul unghiular de rotație al obiectului, făcând din constanta proporționalității I (numită moment de inerție) un tensor al doilea rang, și nu un scalar.

Momentul unghiular este aditiv; momentul unghiular total al unui sistem este suma (pseudo)vectorială a momentelor unghiulare. Pentru continuum sau câmpuri se utilizează integrarea. Momentul unghiular total al oricărui corp rigid poate fi împărțit în suma a două componente principale: momentul unghiular al centrului de masă (cu o masă egală cu masa totală) față de origine, plus momentul unghiular de rotație al obiectului în jurul centrului de masă.

Cuplul poate fi definit ca rata de schimbare a momentului unghiular, analog cu forța. Conservarea momentului unghiular ajută la explicarea mai multor fenomene observate, de exemplu creșterea vitezei de rotație a unui patinator pe măsură ce brațele patinatorului sunt strânse, rata mare de rotație a stelelor neutronice, efectul Coriolis și precesiunea titirezului și giroscoapelor. Aplicațiile includ girocompasul, sistemele de ghidare inerțiale, roțile de reacție, discurile zburătoare sau frisbee și rotația Pământului, pentru a numi câteva. În general, conservarea limitează posibila mișcare a unui sistem, dar nu determină în mod unic care este mișcarea exactă.

În mecanica cuantică, momentul unghiular este un operator cu valorile proprii cuantificate. Momentul unghiular este supus principiului incertitudinii lui Heisenberg, ceea ce înseamnă că, în orice moment, numai o componentă poate fi măsurată cu precizie. De asemenea, „spinul” particulelor elementare nu corespunde unei mișcări literale de rotire.

Momentul scalar – unghiular în două dimensiuni

Momentul unghiular
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:Ang_mom_2d.png

(Viteza vectorială a particulei m în raport cu originea O poate fi repartizată în componente paralele cu (v//) și perpendicular cu (v) cu vectorul de rază r. Momentul unghiular al lui m este proporțional cu componenta perpendiculară va vitezei sau echivalentă cu distanța perpendiculară rde la origine. )

Momentul unghiular este o cantitate vectorială (mai exact, un pseudovector) care reprezintă produsul inerției rotative și a vitezei de rotație a corpului față de o anumită axă. Cu toate acestea, dacă traiectoria particulelor se află într-un singur plan, este suficient să se renunțe la natura vectorială a impulsului unghiular și să se trateze ca un scalar (mai precis, un pseudoscal). Momentul unghiular poate fi considerat un analog rotativ al impulsului linear. Astfel, unde impulsul liniar p este proporțional cu masa m și viteza liniară v,

p = mv,

un moment unghiular L este proporțional cu momentul de inerție I și viteza unghiulară ω,

L = Iω.

Spre deosebire de masă, care depinde doar de cantitatea de materie, momentul de inerție depinde, de asemenea, de poziția axei de rotație și de forma materiei. Spre deosebire de viteza liniară, care are loc în linie dreaptă, se produce o viteză unghiulară în jurul unui centru de rotație. De aceea, strict vorbind, L ar trebui să fie denumit momentul unghiular față de acest centru.

Deoarece I = r2m pentru o singură particulă și ω = vr pentru mișcarea circulară, impulsul unghiular poate fi extins, L = r2m·v/r și redus la

L = rmv,

produsul razei de rotație r și impulsul liniar al particulei p = mv, unde v este în acest caz viteza liniară (tangențială) echivalentă la rază (= ).

Această analiză simplă se poate aplica și pentru mișcarea ne-circulară dacă este considerată doar componenta mișcării perpendiculare pe vectorul de rază. În acest caz,

L = rmv,

unde v = vsin(θ) este componenta perpendiculară a mișcării. Extinzând, L = rmvsin(θ), rearanjîm, L = rsin(θ)mv și reducem, momentul unghiular poate fi de asemenea exprimat,

L = rmv,

unde r = rsin(θ) este lungimea brațului momentului, o linie perpendiculară de la origine pe calea particulei. Aceasta este definiția, (lungimea brațului momentului)×(impulsul liniar), la care se referă termenul momentul impulsului.

Discuţie

Momentul unghiular poate fi descris ca analogul rotativ al momentului liniar. Ca impuls liniar, el implică elemente de masă și deplasare. Spre deosebire de impulsul liniar, el implică și elemente de poziție și formă.

Multe probleme în fizică implică materia în mișcare în jurul unui anumit punct din spațiu, fie că este în rotație reală sau că se deplasează pur și simplu în jurul lui, unde se dorește să se știe ce efect are materia în mișcare asupra punctului – dacă se poate exercita energie asupra acestuia sau să realizeze un lucru mecanic în acest sens? Energia, abilitatea de a produce lucru mecanic, poate fi stocată în materie prin punerea în mișcare – o combinație a inerției și deplasării sale. Inerția este măsurată prin masa și deplasarea prin viteza sa. Produsul lor,

(cantitatea de inerție) × (cantitatea de deplasare) = cantitatea de (deplasare inerțială)

masa × viteza = impulsul

m × v = p

este impulsul materiei. Referind acest impuls la un punct central se introduce o complicatie: impulsul nu se aplică direct punctului. De exemplu, o particulă de materie de la marginea exterioară a unei roți este, de fapt, la capătul unei pârghii de aceeași lungime ca și raza roții, iar impulsul său rotește pârghia în jurul punctului central. Această pârghie imaginară este cunoscută drept brațul momentului. Ea are efectul de a înmulți efortul impulsului proporțional cu lungimea sa, un efect cunoscut ca moment. Prin urmare, momentul particulei s-a referit la un anumit punct,

(brațul momentului) × (cantitatea de inerție) × (cantitatea de deplasare) = momentul (deplasării inerțiale)

lungimea × masa × viteza = momentul impulsului

r × m × v = L

este momentul unghiular, numit uneori, ca aici, momentul impulsului particulei față de acel punct central. Ecuația L = rmv combină un moment (o masă m în jurul brațul momentului r) cu o viteză liniară (echivalenta liniară) v. Viteza liniară raportată la punctul central este pur și simplu produsul distanței r și viteza unghiulară ω față de punct: v = rω, un alt moment. Prin urmare, momentul unghiular conține un moment dublu: L = rmrω. Simplificând ușor, L = r2, cantitatea r2m este momentul de inerție al particulei, uneori numit al doilea moment de masă. Este o măsură a inerției rotative.

Deoarece inerția rotativă face parte din momentul unghiular, ea include în mod necesar toate complicațiile momentului de inerție, care se calculează prin înmulțirea biților elementari ai masei cu pătratele distanțelor lor față de centrul de rotație. De aceea, momentul total al inerției, și momentul unghiular, este o funcție complexă a configurației materiei în jurul centrului de rotație și orientarea rotației pentru diferiții biți.

Pentru un corp rigid, de exemplu o roată sau un asteroid, orientarea rotației este pur și simplu poziția axei de rotație față de materia corpului. Poate sau nu poate trece prin centrul de masă sau poate să se afle complet în afara corpului. Pentru același corp, momentul unghiular poate lua o valoare diferită pentru fiecare axă posibila pentru care poate avea loc rotația. Ea atinge un minim când axa trece prin centrul de masă.

Pentru o colecție de obiecte care se învârt în jurul unui centru, de exemplu toate corpurile sistemului solar, orientările pot fi oarecum organizate, ca și sistemul solar, majoritatea axelor corpului fiind situate aproape de axa sistemului. Orientările lor pot fi, de asemenea, complet aleatoare.

Pe scurt, cu cât este mai mare masa și cu cât este mai departe de centrul de rotație (cu cât brațul momentului este mai lung), cu atât este mai mare momentul inerției și, prin urmare, cu atât este mai mare momentul unghiular pentru o viteză unghiulară dată. În multe cazuri, momentul de inerție și, prin urmare, momentul angular, pot fi simplificate prin,

I = k2m,

unde k este raza de girație, distanța de la axa la care întreaga masă m poate fi considerată concentrată.

În mod similar, pentru o masă punctuală m, momentul de inerție este definit ca,

I = r2m

unde r este raza masei punctului de la centrul de rotație,

și pentru orice colecție de particule mi ca sumă,

ΣiIi = Σiri2mi

Dependența momentului unghiular de poziție și formă se reflectă în unitățile sale față de un moment liniar: kg·m2/s, N·m·s sau J·s pentru un moment unghiular, față de kg·m/s sau N·s pentru un impuls liniar. Unitățile momentului unghiular pot fi interpretate drept cuplu·secunde, de lucru mecanic·secunde sau energie·secunde. Un obiect cu moment unghiular L N·m·s poate fi redus la rotație zero (toată energia poate fi transferată din el) printr-un impuls unghiular L N·m·s sau echivalent, prin cuplul sau lucru mecanic al lui L N·m timp de o secundă, sau energia L J timp de o secundă.

Planul perpendicular pe axa momentului unghiular și care trece prin centrul de masă este uneori numit plan invariabil, deoarece direcția axei rămâne fixă ​​dacă sunt luate în considerare numai interacțiunile corpurilor din sistem, fără influențe exterioare. Un astfel de plan este planul invariabil al sistemului solar.

Momentul unghiular (definiție modernă)

Momentul unghiular tridimensional (Momentul unghiular tridimensional ca bivector (element plan) și vector axial, al unei particulă de masă m cu poziție tridimensională x și impuls tridimensional p instantanee)

În fizica teoretică modernă (secolul XX), momentul unghiular (care nu include un moment unghiular intrinsec – vezi mai jos) este descris folosind un formalism diferit, în loc de un pseudovector clasic. În acest formalism, momentul unghiular este sarcina Noether de formă diferențială asociată cu invarianța rotației. Ca rezultat, momentul unghiular nu este conservat pentru perioadele generale de timp curbate, cu excepția cazului în care se întâmplă să fie invariant rotațional asimptotic.

În mecanica clasică, momentul unghiular al unei particule poate fi reinterpretat ca un element plan:

L = rp,

în care produsul exterior înlocuiește produsul încrucișat × (aceste produse au caracteristici similare, dar nu sunt echivalente). Acest lucru are avantajul unei interpretări geometrice mai clare ca element plan, definit de vectorii x și p, iar expresia este adevărată în orice număr de dimensiuni (două sau mai multe).

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *