» » » » » » Operatorul impuls în mecanica cuantică

Operatorul impuls în mecanica cuantică

În mecanica cuantică, operatorul impuls este operatorul asociat cu măsurarea impulsului liniar. Operatorul impuls este, în reprezentarea poziției, un exemplu de operator diferențial. Pentru cazul unei particule într-o singură dimensiune, definiția este:

p^ = – iℏ·∂/∂x

unde ħ este constanta redusă a lui Planck, i unitatea imaginară, iar derivatele parțiale (notate cu ∂) sunt folosite în locul unei derivate totale (d/dx), deoarece funcția de undă este de asemenea o funcție de timp. Accentul circumflex indică un operator. „Aplicarea” operatorului pe o funcție de undă diferențiată este următoarea:

p^ψ = – iℏ·∂ψ/∂x

Într-o bază a spațiului Hilbert constând în stările proprii ale impulsului exprimate în reprezentarea impulsului, acțiunea operatorului este pur și simplu multiplicarea cu p, adică este un operator de multiplicare, la fel cum operatorul de poziție este un operator de multiplicare în reprezentarea poziției.

Când mecanica cuantică a fost dezvoltată în anii 1920, operatorul impuls a fost găsit de mulți fizicieni teoreticieni, printre care Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin Schrödinger și Eugene Wigner. Existența și forma sa sunt uneori considerate ca fiind unul dintre postulatele fundamentale ale mecanicii cuantice.

Definiție (spațiu de poziție)

Pentru o singură particulă fără sarcină electrică și fără spin, operatorul impuls poate fi scris în baza poziției ca:

p^ = – iℏ∇

unde este operatorul gradient, ħ este constanta Planck redusă, iar i este unitatea imaginară.

Într-o dimensiune spațială acesta devine:

p^ = p^x = – iℏ·∂/∂x.

Aceasta este o formă frecvent întâlnită a operatorului impuls, deși nu cea mai generală. Pentru o particulă încărcată q într-un câmp electromagnetic, descrisă de potențialul scalar φ și potențialul vectorial A, operatorul impuls trebuie înlocuit cu:

p^ = – iℏ∇ – qA

unde operatorul impuls canonic este operatorul impuls de mai sus:

P^ = – iℏ∇

Acest lucru este, desigur, adevărat și pentru particule neutre din punct de vedere electric, de vreme ce al doilea termen dispare dacă q = 0 și apare operatorul inițial.

Proprietăți

Hermiticitatea

Operatorul impuls este întotdeauna un operator hermitian (mai mult din punct de vedere tehnic, în terminologia matematică, un operator „auto-adjunct”) atunci când acționează asupra unor stări cuantice fizice (în particular, normalizabile).

În anumite situații artificiale, cum ar fi stările cuantice pe intervalul semi-infinit [0, ∞), nu există nicio modalitate de a face operatorul impuls să fie hermitian. Acest lucru este strâns legat de faptul că un interval semi-infinit nu poate avea simetrie de translație – mai exact, nu are operatori de translație unitari.

Relația canonică de comutație

Se poate demonstra cu ușurință că prin utilizarea adecvată a bazei impuls și a bazei poziției:

[x^, p^] = x^p^ – p^x^ = iℏ.

Principiul incertitudinii al lui Heisenberg definește limitele cu privire la cât de precis poate fi cunoscut imediat impulsul și poziția unui singur sistem observabil. În mecanica cuantică, poziția și impulsul sunt variabile conjugate.

Transformarea Fourier

Se poate arăta că transformarea Fourier a impulsului în mecanica cuantică este operatorul poziție. Transformarea Fourier transformă baza impulsului în baza poziției.

Summary
Review Date
Reviewed Item
Operatorul impuls în mecanica cuantică
Author Rating
51star1star1star1star1star

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.