» » » » » » Orbite eliptice

Orbite eliptice

postat în: Mecanica | 0

orbită circulară în puțul de potențial gravitațional al masei centrale(O orbită eliptică este reprezentată în cadranul din dreapta-sus al acestei diagrame, unde puțul de potențial gravitațional al masei centrale prezintă energia potențială, iar energia cinetică a vitezei orbitale este prezentată cu roșu. Înălțimea energiei cinetice scade când viteza corpului orbitei scade și distanța crește în conformitate cu legile lui Kepler.)

În astrodinamică sau mecanica cerească, o orbită eliptică este o orbită Kepler cu o excentricitate mai mică de 1; aceasta include cazul special al unei orbite circulare, cu o excentricitate egală cu 0. Într-un sens mai strict, este o orbită Kepler cu o excentricitate mai mare de 0 și mai mică de 1 (excluzând astfel orbita circulară). Într-un sens mai larg, este o orbită Kepler cu energie negativă. Aceasta include orbita eliptică radială, cu o excentricitate egală cu 1.

Într-o problemă gravitațională cu doi corpuri, cu energie negativă, ambele corpuri urmează orbite eliptice similare cu aceeași perioadă orbitală în jurul baricentrului lor comun. De asemenea, poziția relativă a unui corp față de celălalt urmează o orbită eliptică.

Exemple de orbite eliptice includ: orbita de transfer Hohmann, orbita Molniya și orbita tundrei.

Viteza vectorială

În ipotezele standard, viteza orbitală (v) a unui corp care se deplasează de-a lungul unei orbite eliptice poate fi calculată din ecuația vis-viva ca:

v = √)μ(2/r – 1/a))

unde: μ este parametrul gravitațional standard, r este distanța dintre corpurile orbitale, a este lungimea axei semi-majore.

Ecuația de viteză pentru o traiectorie hiperbolică are fie +1, fie este aceeași cu convenția că în acest caz a este negativă.

Perioada orbitală

În ipotezele standard, perioada orbitală (T) a unui corp care călătorește de-a lungul unei orbite eliptice poate fi calculată ca:

T = 2π√(a3/μ)

unde: μ este parametrul gravitațional standard, a este lungimea axei semi-majore.

Concluzii:

  • Perioada orbitală este egală cu cea pentru o orbită circulară cu raza orbitală egală cu axa semi-majoră (a),
  • Pentru o axă semi-majoră dată, perioada orbitală nu depinde de excentricitate.

Energia

În ipotezele standard, energia orbitală specifică (ϵ) a orbitei eliptice este negativă și ecuația de conservare a energiei orbitale (ecuația vis-viva) pentru această orbită poate lua forma:

v2/2 – μ/r = – μ/2a = ε < 0

unde: v este viteza orbitală a corpului care orbitează, r este distanța corpului care orbitează față de corpul central, a este lungimea axei semi-majore, μ este parametrul gravitațional standard.

Concluzii:

  • Pentru o anumită axă semi-majoră, energia orbitală specifică este independentă de excentricitate.

Folosind teorema virială găsim:

  • media în timp a energiei potențiale specifice este egală cu -2ε
    • media în timp a lui r-1 este a-1
  • media în timp a energiei cinetice specifice este egală cu ε
Energia în termeni de axa semi-majoră

Poate fi utilă cunoașterea energiei în ceea ce privește axa semi-majoră (și masele implicate). Energia totală a orbitei este dată de

E = – G Mm/2a,

unde a este axa semi-majoră.

Derivare

Deoarece gravitația este o forță centrală, impulsul unghiular este constant:

L = r × F = r × F(r)r̂ = 0

La cele mai apropiate și cele mai îndepărtate abordări, impulsul unghiular este perpendicular pe distanța de la masa orbitată, prin urmare:

L = rp = rmv.

Energia totală a orbitei este dată de

E = mv2/2 – GMm/r.

Putem înlocui v și obține

E = L2mr2/2 – GMm/r.

Acest lucru este valabil pentru r fiind distanța cea mai apropiată/cea mai îndepărtată, astfel obținem două ecuații simultane pe care le rezolvăm pentru E:

E = – GMm/(r1 + r2)

Unghiul căii de zbor

Unghiul căii de zbor este unghiul dintre vectorul de viteză al corpului care orbitează (= vectorul tangent la orbita instantanee) și orizontală locală. În ipotezele standard ale conservării momentului unghiular, unghiul căii de zbor φ satisface ecuația:

h = rvcosφ

unde: h este momentul unghiular relativ specific al orbitei, v este viteza orbitală a corpului care orbitează, r este distanța radială a corpului care orbitează de la corpul central, φ este unghiul căii de zbor.

ψ este unghiul dintre axa orizontală și axa semi-majoră locală, ν este anomalia locală adevărată. φ = ν + π/2 – ψ, prin urmare,

cos⁡ φ = sin(ψ – ν) = sinψcosν – cosψsinν = (1 + ecosν)/√(1 + e2 + 2ecosν)

unde e este excentricitatea.

Momentul unghiular este legat de produsul încrucișat vectorial al poziției și vitezei, care este proporțional cu sinusul unghiului dintre acești doi vectori. Aici ϕ este definit ca un unghi care diferă cu 90 de grade față de acesta, astfel încât cosinusul apare în locul sinusului.

Parametrii orbitali

Starea unui corp orbitant în orice moment este definită de poziția și viteza corpului orbitant față de corpul central, care poate fi reprezentată de coordonatele carteziene tridimensionale (poziția corpului orbitant reprezentat de x, y și z) și componentele cartesiene similare ale vitezei corpului orbitant. Acest set de șase variabile, împreună cu timpul, se numesc vectori de stare orbitală. Având în vedere masele celor două corpuri, acestea determină orbita completă. Cele două cazuri cele mai generale cu aceste 6 grade de libertate sunt orbita eliptică și hiperbolică. Cazurile speciale cu un grad mai redus de libertate sunt orbita circulară și parabolică.

Deoarece cel puțin șase variabile sunt absolut necesare pentru a reprezenta complet o orbită eliptică cu acest set de parametri, atunci sunt necesare șase variabile pentru a reprezenta o orbită cu orice set de parametri. Un alt set de șase parametri care sunt utilizați în mod obișnuit sunt elementele orbitale.

Sistemul solar

În sistemul solar, planetele, asteroizii, cele mai multe comete și câteva bucăți de resturi spațiale au orbite aproximativ orizontale în jurul Soarelui. În mod strict vorbind, ambele corpuri se rotesc în jurul aceluiași focar al elipsei, cel mai apropiată de corpul mai masiv, dar când un corp este semnificativ mai masiv, cum ar fi Soarele față de Pământ, focarul se poate găsi plasat în interiorul corpul masiv și, astfel, cel mai mic se spune că se învârte în jurul lui.

Traiectorie eliptică radială

O traiectorie radială poate fi un segment de linie dublă, care este o elipsă degenerată cu axa semi-minoră = 0 și excentricitate = 1. Deși excentricitatea este 1, aceasta nu este o orbită parabolică. Majoritatea proprietăților și formulelor orbitelor eliptice se aplică în acest caz. Cu toate acestea, orbita nu poate fi închisă. Este o orbită deschisă care corespunde unei părți a elipsei degenerate din momentul în care corpurile se ating și se îndepărtează unul de celălalt până când se ating din nou. În cazul masei punctuale este posibilă o orbită completă, începând și terminând cu o singularitate. Vitezele la început și sfârșit sunt infinite în direcții opuse, iar energia potențială este egală cu minus infinit.

Traiectoria radială eliptică este soluția unei probleme cu două corpuri cu o viteză zero la un moment dat, ca în cazul căderii unui obiect (neglijând rezistența la aer).

Summary
Review Date
Reviewed Item
Orbite eliptice
Author Rating
51star1star1star1star1star

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.