» » » » » » Oscilații

Oscilații

postat în: Acustica | 0

Clădirea Comcast din Philadelphia, Pennsylvania(Figura 15.1 (a) Clădirea Comcast din Philadelphia, Pennsylvania, ridicându-se deasupra orizontului, are o înălțime de aproximativ 305 metri. La această înălțime, etajele superioare pot oscila înainte și înapoi datorită activității seismice și a vânturilor fluctuante. (b) Un desen schematic al unui amortizor de masă reglat cu coloană de lichid, instalat în partea superioară a lui Comcast, format dintr-un rezervor de apă de 300.000 de galoane pentru reducerea oscilațiilor.)

Discutăm aici oscilațiile cu sisteme simple de penduluri și arcuri. Deși aceste sisteme pot părea destul de fundamentale, conceptele implicate au multe aplicații în viața reală. De exemplu, clădirea Comcast din Philadelphia, Pennsylvania, are o înălțime de aproximativ 305 de metri. Pe măsură ce clădirile sunt construite mai înalt, ele pot acționa ca un pendul fizic inversat, cu etajele superioare oscilând datorită activității seismice și a vânturilor fluctuante. În clădirea Comcast se folosește un amortizor de masă reglat pentru a reduce oscilațiile. Instalat în partea superioară a clădirii este un amortizor de masă cu coloană de lichid, compus dintr-un rezervor de apă de 300.000 de galoane. Acest rezervor în formă de U permite să oscileze liber apa la o frecvență care se potrivește cu frecvența naturală a clădirii. Amortizarea este asigurată prin reglarea nivelelor de turbulență în apa care se deplasează folosind dispozitive (supresoare) specifice.

Mișcarea armonică simplă

Când se ciupe o coardă de chitară, sunetul rezultat are un ton constant și durează mult timp (Figura 15.2). Coarda vibrează în jurul unei poziții de echilibru și o oscilație este completată atunci când coarda pornește de la poziția inițială, se deplasează într-una din pozițiile extreme, apoi în cealaltă poziție extremă și revine la poziția sa inițială. Definim mișcarea periodică ca fiind orice mișcare care se repetă la intervale regulate de timp, cum ar fi cea a corzilor de chitară, sau a unui copil care se dă într-un leagăn. În această secțiune, studiem caracteristicile de bază ale oscilațiilor și descrierea lor matematică.

Chitară (Figura 15.2 Când o coardă de chitară este siupită, coarda oscilează în sus și în jos în mișcare periodică. Coarda vibrantă determină moleculele de aer din vecinătate să oscileze, producând unde sonore. (credit: Yutaka Tsutano))

Perioada și frecvența oscilației

În absența fricțiunii, timpul pentru a finaliza o oscilație rămâne constant și se numește perioada (T). Unitățile sale sunt de obicei secunde, dar pot fi orice unitate convenabilă de timp. Cuvântul „perioadă” se referă la timpul pentru un eveniment, indiferent dacă este sau nu repetitiv, dar în acest capitol vom aborda în primul rând mișcarea periodică, care este, prin definiție, repetitivă.

Un concept strâns legat de perioadă este frecvența unui eveniment. Frecvența (f) este definită ca număr de evenimente pe unitate de timp. Pentru mișcarea periodică, frecvența este numărul de oscilații pe unitate de timp. Relația dintre frecvență și perioadă este

f = 1/T   (15.1)

Unitatea SI pentru frecvență este hertz (Hz) și este definită ca un ciclu pe secundă:

1 Hz = 1 ciclu/sec sau 1 Hz = 1/s = 1s-1.

Un ciclu este o oscilație completă.

Caracteristicile mișcării simple armonice

Un tip foarte frecvent de mișcare periodică se numește mișcare simplă armonică (MSA). Un sistem care oscilează cu MSA se numește un oscilator simplu armonic.

Mișcarea simplă armonică: În mișcarea simplă armonică, accelerația sistemului și, prin urmare, forța netă, este proporțională cu deplasarea și acționează în direcția opusă deplasării.

Un bun exemplu de MSA este un obiect cu masa m atașat la un arc pe o suprafață fără frecare, așa cum se arată în Figura 15.3. Obiectul oscilează în jurul poziției de echilibru, iar forța netă pe obiect este egală cu forța asigurată de arc. Această forță respectă legea lui Hooke Fs = -kx.

Dacă forța netă poate fi descrisă de legea lui Hooke și nu există nicio amortizare (încetinirea datorată forțelor de frecare sau a altor forțe neconservative), atunci un oscilator simplu armonic oscilează cu deplasare egală pe fiecare parte a poziției de echilibru, așa cum este arătat pentru un obiect pe un arc din figura 15.3. Deplasarea maximă din echilibru se numește amplitudine (A). Unitățile pentru amplitudine și deplasare sunt aceleași, dar depind de tipul de oscilație. Pentru obiectul de pe arc, unitățile de amplitudine și deplasare sunt metri.

Oscilator armonic simplu(Figura 15.3) Un obiect atașat la un arc care alunecă pe o suprafață fără frecare este un oscilator armonic simplu necomplicat. În setul de figuri de mai sus, o masă este atașată la un arc și este așezată pe o suprafață fără fricțiune. Celălalt capăt al arcului este atașat de perete. Poziți masei, când arcul nu este nici întins nici comprimat, este scrisă ca x = 0, și este posiția sa de echilibru. (a) Masa se deplasează la o poziție x = A și iese din repaus. b) Masa accelerează pe măsură ce se mișcă în direcția negativă x, atingând o viteză maximă negativă la x = 0. (c) Masa continuă să se deplaseze în direcția negativă x, încetinind până când se oprește la x = -A. (d) Masa începe acum să se accelereze în direcția x pozitivă, atingând o viteză maximă pozitivă la x = 0. (e) masa continuă să se miște în direcția pozitivă până când se oprește la x = A. Masa continuă în MSA care are o amplitudine A și o perioadă T. Viteza maximă a obiectului este atinsă când trece prin echilibru. Cu cât arcul este mai rigid, cu atât este mai mică perioada T. Cu cât este mai mare masa obiectului, cu atât este mai mare perioada T.)

Ce este atât de semnificativ la MSA? Perioada T și frecvența f ale unui oscilator armonic simplu sunt independente de amplitudine. Coardaunei chitare, de exemplu, oscilează cu aceeași frecvență, indiferent de cât de tare este ciupită.

Doi factori importanți afectează perioada unui oscilator simplu armonic. Perioada depinde de cât de rigid este sistemul. Un obiect foarte rigid are o constantă elastică (k) mare, ceea ce determină ca sistemul să aibă o perioadă mai mică. De exemplu, puteți ajusta rigiditatea unei platforme pe apă – cu cât este mai rigidă, cu atât vibrează mai repede și perioada este mai scurtă. Perioada depinde, de asemenea, de masa sistemului oscilant. Cu cât sistemul este mai masiv, cu atât este mai lungă perioada. De exemplu, o persoană grea pe o platformă pe apă oscilează în sus și în jos mai încet decât una mai puțin grea. De fapt, masa m și constanta elastică k sunt singurii factori care afectează perioada și frecvența MSA. Pentru a obține o ecuație pentru perioadă și frecvență, trebuie să definim și să analizăm mai întâi ecuațiile de mișcare. Rețineți că constanta elastică este denumită uneori constanta arcului.

Ecuațiile MSA

Luați în considerare un bloc atașat unui arc pe o suprafață fără frecare (Figura 15.4). Poziția de echilibru (poziția în care arcul nu este nici întins, nici comprimat) este marcată ca fiind x = 0. La poziția de echilibru, forța netă este zero.

Arc pe o suprafață fără frecare(Figura 15.4 Un bloc este atașat la un arc și este așezat pe o suprafață fără frecare. Poziția de echilibru, unde arcul nu este nici extins, nici comprimat, este marcată ca fiind x = 0.)

Se efectuează un lucru mecanic asupra blocului pentru a-l trage în poziția x = +A și apoi se eliberează. Poziția maximă a lui x (A) se numește amplitudinea mișcării. Blocul începe să oscileze în MSA între x = +A și x = -A, unde A este amplitudinea mișcării și T este perioada oscilației. Perioada este timpul necesar pentru o oscilație. Figura 15.5 prezintă mișcarea blocului pe măsură ce acesta termină o jumătate de oscilații după eliberare. Figura 15.6 prezintă o diagramă a poziției blocului în funcție de timp. Atunci când poziția este reprezentată grafic în funcție de timp, este clar că datele pot fi modelate printr-o funcție cosinus cu o amplitudine A și o perioadă T. Funcția cosinus cosΘ repetă fiecare multiplu de 2π, în timp ce mișcarea blocului repetă fiecare perioadă T. Funcția cos(2π/T·t) repetă fiecare multiplu întreg al perioadei. Maximul funciei cosinus este unu, deci este necesară multiplicarea funcției cosinus cu amplitudinea A.

x(t) = Acos(2π/T·t) = Acos(ωt).   (15.2)

Rețineți că frecvența unghiulară este egală ω = dθ/dt. În acest caz, perioada este constantă, astfel încât frecvența unghiulară este definită ca 2π împărțită la perioada, ω = 2π/T.

Un bloc este atașat la un capăt al unui arc și este așezat pe o suprafață fără fricțiune(Figura 15.5 Un bloc este atașat la un capăt al unui arc și este așezat pe o suprafață fără fricțiune. Celălalt capăt al arcului este ancorat pe perete. Poziția de echilibru, unde forța netă este egală cu zero, este marcată cu x = 0 m. Este efectuat un lucru mecanic asupra blocului, trăgându-l în x = +A și blocul este eliberat din repaus. Blocul oscilează între x = +A și x = -A. Forța este de asemenea prezentată ca vector.)

Un grafic al poziției blocului

(Figura 15.6 Un grafic al poziției blocului prezentat în Figura 15.5 în funcție de timp. Poziția poate fi modelată ca o funcție periodică, cum ar fi o funcție cosinus sau sinus.)

Ecuația pentru poziție ca funcție de timp x(t) = Acos(ωt) este bună pentru modelarea datelor, unde poziția blocului la momentul inițial t = 0.00 s este la amplitudinea A și viteza inițială este zero. Adesea, atunci când se iau date experimentale, poziția masei la momentul inițial t = 0,00 s nu este egală cu amplitudinea, și viteza inițială nu este zero. Luați în considerare 10 secunde de date colectate de un student în laborator, prezentate în Figura 15.7.

Poziția unui bloc atașat la un arc(Figura 15.7 Datele colectate de un student în laborator indică poziția unui bloc atașat la un arc, măsurat cu un detector sonic de distanță. Datele sunt colectate începând cu momentul t = 0,00s, dar poziția inițială este apropiată de poziția x ≈ – 0,80 cm ≠ 3,00 cm, deci poziția inițială nu este egală cu amplitudinea x0 = +A. Viteza este derivata de timp a poziției, care este panta într-un punct de pe graficul de poziție față de timp.Viteza nu este v = 0.00 m/s la momentul t = 0.00 s, așa cum este evident la panta graficului de poziție față de timp, care nu este zero la momentul inițial.)

Datele din Figura 15.7 pot fi încă modelate cu o funcție periodică, cum ar fi o funcție cosinus, dar funcția este deplasată spre dreapta. Această schimbare este cunoscută ca o schimbare de fază și este reprezentată, de obicei, de litera greacă phi (ϕ). Ecuația poziției ca funcție de timp pentru un bloc pe un arc devine

x(t) = Acos(ωt + ϕ).

Aceasta este ecuația generalizată pentru MSA unde t este timpul măsurat în secunde, ω este frecvența unghiulară cu unități de secunde inverse, A este amplitudinea măsurată în metri sau centimetri și ϕ este schimbarea de fază măsurată în radiani (Figura 15.8) . Trebuie remarcat faptul că, deoarece funcțiile sinus și cosinus diferă doar printr-o schimbare de fază, această mișcare poate fi modelată folosind fie funcția cosinus, fie sinus.

(a) Funcția cosinus (b) Funcția cosinus(Figura 15.8 (a) Funcția cosinus (b) Funcția cosinus este deplasată spre dreapta printr-un unghi ϕ. Unghiul ϕ este cunoscut ca schimbarea de fază a funcției.)

Viteza masei pe un arc, oscilând în MSA, poate fi găsită prin folosirea derivatei ecuației de poziție:

v(t) = dx/dt = d/dt·Acos(ωt + ϕ) = -Aωsin(ωt + ϕ) = -vmaxsin(ωt + ϕ)

Deoarece funcția sinusoidală oscilează între -1 și +1, viteza maximă este amplitudinea ori frecvența unghiulară, vmax = Aω. Viteza maximă are loc la poziția de echilibru (x = 0) atunci când masa se deplasează spre x = +A. Viteza maximă în direcția negativă este atinsă în poziția de echilibru (x = 0) când masa se deplasează spre x = -A și este egală cu -vmax.

Accelerarea masei pe arc poate fi găsită prin derivarea vitezei în funcție de timp:

a(t) = dv/dt = d/dt·(-Aωsin(ωt + ϕ)) = -Aω2cos (ωt + ϕ) = -amaxcos (ωt + ϕ).

Accelerația maximă este amax = Aω2. Accelerația maximă are loc la poziția (x = -A), iar accelerația la poziția (x = -A) și este egală cu -amax.

Rezumat al ecuațiilor de mișcare pentru MSA

În rezumat, mișcarea oscilantă a unui bloc pe un arc poate fi modelată cu următoarele ecuații de mișcare:

x(t) = Acos(ωt + ϕ)   (15.3)

v(t) = -vmaxsin(ωt + ϕ)   (15.4)

a(t) = -amaxcos(ωt + ϕ)   (15.5)

xmax = A   (15.6)

vmax = Aω   (15.7)

amax = Aω2.   (15.8)

Aici A este amplitudinea mișcării, T este perioada, ϕ este schimbarea de fază și ω = 2π/T = 2πf este frecvența unghiulară a mișcării blocului.

(Sursa: Traducere din cartea ”University Physics”, care se poate descărca gratuit în limba engleză la https://openstax.org/details/books/university-physics-volume-1)

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *