Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica cuantică » Pachete de unde în mecanica cuantică

Pachete de unde în mecanica cuantică

În fizică, un pachet de unde (sau un tren de unde) este o scurtă „explozie” sau „anvelopă” a acțiunii undelor localizate care se deplasează ca o unitate. Un pachet de unde poate fi analizat sau poate fi sintetizat dintr-un set infinit de unde sinusoidale componente ale diferitelor numere de undă, cu faze și amplitudini astfel încât ele să interfereze constructiv numai pe o mică regiune a spațiului și distructiv în altă parte. Fiecare funcție de undă componentă și, prin urmare, pachetul de unde, sunt soluții ale unei ecuații de undă. În funcție de ecuația undelor, profilul pachetului de unde poate rămâne constant (fără dispersie) sau se poate schimba (dispersie) în timpul propagării.

Mecanica cuantică atribuie o semnificație specială pachetului de unde; este interpretat ca o amplitudine de probabilitate, norma sa la pătrat descriind densitatea de probabilitate pe care o particulă sau particule într-o anumită stare vor fi măsurate pentru a avea o poziție sau un moment dat. Ecuația undelor este în acest caz ecuația Schrödinger. Este posibil să se deducă evoluția timpului unui sistem mecanic cuantic, similar procesului formalismului hamiltonian în mecanica clasică. Caracterul dispersiv al soluțiilor ecuației lui Schrödinger a jucat un rol important în respingerea interpretării inițiale a lui Schrödinger și în acceptarea regulii Born.

În reprezentarea coordonatelor undei (cum ar fi sistemul de coordonate carteziene), poziția probabilității localizate a obiectului fizic este specificată de poziția soluției pachetului. Mai mult, cu cât pachetul de undă spațial este mai îngust și, prin urmare, cu cât este mai bine localizată poziția pachetului de unde, cu atât este mai mare răspândirea în impulsul undei. Acest compromis între răspândirea în poziție și răspândirea în impuls este o caracteristică a principiului incertitudinii Heisenberg.

Unde și particule în mișcare

Poziția x și impulsul p al funcției de undă care corespunde particulelor cuantice (Creșterea nivelului de localizare a pachetului de unde, adică particula are o poziție mai localizată.)

Poziția și impulsul particulei la limita ħ → 0(La limita ħ → 0, poziția și impulsul particulei devin exact cunoscute. Această situație este echivalentă cu cea a particulelor clasice.)

Schrödinger a impus ca o soluție a pachetului de unde lângă poziția r cu un vectorul de undă aproape de k se va deplasa de-a lungul traiectoriei determinate de mecanica clasică pentru impulsuri suficient de mici pentru împrăștierea în k (și, prin urmare, în viteză). Întrucât, pentru o anumită împrăștiere în k, împrăștierea vitezei vectoriale este proporțională cu constanta lui Planck,, uneori se spune că la limită când ħ se apropie de zero, ecuațiile mecanicii clasice sunt restaurate din mecanica cuantică. Este necesară o mare atenție în ceea ce privește modul în care este luată această limită și în ce cazuri.

Lungimea de undă scurtă limită este echivalentă cu ħ tinde către zero, deoarece acesta este un caz limită de creștere a localizării pachetului de unde în poziția definită a particulei (a se vedea imaginea). Folosind principiul incertitudinii lui Heisenberg pentru poziție și impuls, produsele de incertitudine în poziție și impuls devin zero când ħ → 0:

σ(x)σ(px) ≥ ħ/2 → σ(x)σ(px) ≥ 0

unde σ denotă incertitudinea de măsurare (rădăcină medie pătratică) în x și px (și în mod similar pentru direcțiile y și z) care implică faptul că poziția și impulsul poate fi cunoscut numai cu o precizie arbitrară la această limită.

O modalitate simplă de a compara mecanica clasică cu mecanica cuantică este de a lua în considerare evoluția în timp a poziției așteptate și a impulsului așteptat, care pot fi apoi comparate cu evoluția în timp a poziției și a impulsului obișnuite în mecanica clasică. Valorile așteptărilor cuantice satisfac teorema Ehrenfest. Pentru o particulă cuantică unidimensională care se mișcă într-un potențial V, teorema Ehrenfest spune

m∙d‹x›/dt = ‹p›; d‹p›/dt = -‹V'(X)›.

Deși prima dintre aceste ecuații este în concordanță cu comportamentul clasic, a doua nu este: Dacă perechea (‹X›, ‹P›) ar satisface a doua lege a lui Newton, partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ar trebui să fie

– V'(‹X›),

care de obicei nu este același cu -‹V'(X)›. Cu toate acestea, în cazul oscilatorului cuantic armonic, V’ este liniar și această distincție dispare, astfel încât în ​​acest caz foarte special, poziția așteptată și impulsul așteptat să respecte exact traiectoriile clasice.

Pentru sistemele generale, cel mai bine ar fi ca poziția și impulsul așteptate să urmărească aproximativ traiectoriile clasice. Dacă funcția de undă este foarte concentrată în jurul unui punct x0, atunci V'(‹X›) și ‹V'(X)› vor fi aproape identice, deoarece ambele vor fi aproximativ egale cu V'(x0). În acest caz, poziția așteptată și impulsul așteptat vor rămâne foarte apropiate de traiectoriile clasice, cel puțin atâta timp cât funcția de undă rămâne foarte localizată în poziție. Când constanta lui Planck este mică, este posibil să avem o stare bine poziționată atât în ​​poziție cât și în impuls. Incertitudinea mică în impuls asigură faptul că particula rămâne bine poziționată pentru o perioadă lungă de timp, astfel încât poziția și impulsul așteptate să continue să urmărească îndeaproape traiectoriile clasice.

Ecuația lui Schrödinger în forma sa generală

este strâns legată de ecuația Hamilton-Jacobi

unde S este acțiune și H este funcția hamiltoniană (nu operator). Aici coordonatele generalizate qi pentru i = 1, 2, 3 (folosite în contextul ecuației Hamilton-Jacobi) pot fi setate pe poziția în coordonate carteziene ca r = (q1, q2, q3) = (x, y, z).

substituind

Ψ = (√ρ(r,t))eiS(r,t)/ħ

unde ρ este densitatea de probabilitate, în ecuația Schrödinger și apoi luând limita ħ → 0 în ecuația rezultată, rezultă ecuația Hamilton-Jacobi.

Implicațiile sunt următoarele:

  • Mișcarea unei particule, descrisă de o soluție a pachetului de unde (cu lungime de undă scurtă) pentru ecuația lui Schrödinger, este de asemenea descrisă de ecuația de mișcare Hamilton-Jacobi.
  • Ecuația Schrödinger include funcția de undă, deci soluția sa a pachetelor de unde implică poziția unei particule (cuantice) răspândită în mod fuzzy în fronturile undelor. Dimpotrivă, ecuația lui Hamilton-Jacobi se aplică unei particule (clasice) cu o poziție și un impuls definit, iar poziția și impulsul în orice moment (traiectoria) sunt deterministe și pot fi cunoscute simultan.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *