» » » » » » Particula într-o cutie

Particula într-o cutie

Particula într-o cutie(Unele traiectorii ale unei particule într-o cutie conform legilor lui Newton din mecanica clasică (A) și conform ecuației Schrödinger a mecanicii cuantice (B-F). În (B-F), axa orizontală este poziția, iar axa verticală este partea reală (albastră) și partea imaginară (roșie) a funcției de undă. Stările (B, C, D) sunt energii energetice, dar (E, F) nu sunt.)

În mecanica cuantică, modelul particula într-o cutie (cunoscut și sub numele de puț de potențial infinit sau de puț pătrat infinit) descrie o particulă liberă în a se deplasa într-un spațiu mic înconjurat de bariere impenetrabile. Modelul este folosit în principal ca exemplu ipotetic pentru a ilustra diferențele dintre sistemele clasice și cuantice. În sistemele clasice, de exemplu, pentru o minge prinsă în interiorul unei cutii mari, particula se poate mișca cu orice viteză în cutie și nu este mai probabil să se găsească într-o poziție decât în alta. Cu toate acestea, atunci când puțul devine foarte îngusă (la scara câtorva nanometri), efectele cuantice devin importante. Particula poate ocupa doar anumite nivele energetice pozitive. De asemenea, nu poate avea niciodată energie zero, ceea ce înseamnă că particula nu poate niciodată „sta liniștită”. În plus, este mult mai probabil să se găsească în anumite poziții decât în ​​altele, în funcție de nivelul de energie. Particula nu poate fi niciodată detectată în anumite poziții, cunoscute ca noduri spațiale.

Modelul particulei într-o cutie este una dintre puținele probleme din mecanica cuantică care pot fi rezolvate analitic, fără aproximări. Datorită simplității sale, modelul permite înțelegerea efectelor cuantice fără a fi nevoie de o matematică complicată. Aceasta servește ca o simplă ilustrare a modului în care se realizează cuantificarea energiei (nivelurile de energie), care se găsesc în sisteme cuantice mai complexe, cum ar fi atomii și moleculele. Este una din primele probleme de mecanică cuantică predate în cursurile de fizică universitară și este frecvent folosită ca o aproximare pentru sisteme cuantice mai complicate.

Soluția unidimensională

Barierele din afara unei cutii unidimensionale
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:Infinite_potential_well-en.svg

(Barierele din afara unei cutii unidimensionale au un potențial infinit de mare, în timp ce interiorul cutiei are un potențial constant, zero. )

Cea mai simplă formă a modelului particulei într-o cutie consideră un sistem unidimensional. Aici, particula se poate mișca înapoi și înainte numai de-a lungul unei linii drepte cu bariere impenetrabile la fiecare capăt. Pereții unei cutii unidimensionale pot fi vizualizați ca regiuni ale spațiului cu o energie potențială infinit de mare. Dimpotrivă, interiorul cutiei are o energie potențială constantă, zero. Aceasta înseamnă că nicio forță nu acționează asupra particulei din cutie și se poate mișca liber în acea regiune. Cu toate acestea, forțele infinit de mari resping particula dacă atinge pereții cutiei, împiedicând-o să scape. Energia potențială din acest model este dată ca

V(x) =

  • 0, pentru xc – L/2 < x < xc + L/2,
  • ∞, în celelalte situații,

unde L este lungimea cutiei, xc este poziția centrului cutiei și x este poziția particulei în cutie. Cazurile simple includ caseta centrată (xc = 0) și caseta mutată (xc = L/2).

Funcția de undă a poziției

În mecanica cuantică, funcția de undă oferă cea mai fundamentală descriere a comportamentului unei particule; proprietățile măsurabile ale particulei (cum ar fi poziția, impulsul și energia) pot fi toate derivate din funcția de undă.

În interiorul cutiei, forțele nu acționează asupra particulei, ceea ce înseamnă că partea din funcția de undă din interiorul cutiei oscilează în spațiu și timp în aceeași formă ca la o particulă liberă:

ψ(x,t) = [Asin(kx) + Bcos(kx)]e-iωt,

unde A și B sunt numere complexe arbitrare. Frecvența oscilațiilor în spațiu și timp este dată de numărul de undă k și respectiv de frecvența unghiulară ω. Acestea sunt ambele legate de energia totală a particulei prin expresia

E = ℏω = ℏ2k2/2m,

care este cunoscută ca relația de dispersie pentru o particulă liberă. Aici trebuie observat că acum, deoarece particula nu este în întregime liberă, ci sub influența unui potențial (potențialul V descris mai sus), energia particulei date mai sus nu este același lucru ca p2/2m unde p este impulsul particulei și, prin urmare, numărul de undă k de mai sus descrie de fapt stările energetice ale particulei, nu stările impulsului (adică se pare că impulsul particulei nu este dat de p = ℏk). În acest sens, este destul de periculos să numim numărul k un număr de undă, deoarece nu este legat de impuls ața cum este de obicei „numărul de undă”. Motivul pentru a numi k numărul de undă este faptul că enumeră numărul de creste pe care funcția de undă le are în cutie, și în acest sens este un număr de undă. Această discrepanță poate fi văzută mai clar în continuare, atunci când aflăm că spectrul energetic al particulei este discret (sunt permise numai valori discrete ale energiei), dar spectrul impulsului este continuu (impulsul poate varia continuu) și, în special, relația E = p2/2m pentru energia și impulsul particulei nu se menține. Așa cum am spus mai sus, motivul pentru care această relație între energie și impuls nu are loc este că particula nu este liberă, ci există un potențial V în sistem, iar energia particulei este E = T + V, unde T este energia cinetică și V energia potențială.

Funcțiile inițiale de undă pentru primele patru stări pentru o particulă într-o cutie unidimensională
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:Particle_in_a_box_wavefunctions_2.svg

(Funcțiile inițiale de undă pentru primele patru stări pentru o particulă într-o cutie unidimensională. )

Dimensiunea (sau amplitudinea) funcției de undă în o poziție dată este legată de probabilitatea de a găsi o particulă acolo cu P(x,t) = |ψ(x,t)|2. Prin urmare, funcția de undă trebuie să dispară peste tot dincolo de marginile casetei. De asemenea, amplitudinea funcției de undă nu poate să „sară” brusc de la un punct la altul. Aceste două condiții sunt satisfăcute numai prin funcții de undă de forma

ψn (x,t) =

  • Asin(kn(x − xc + L/2))e−iωnt , pentru xc − L/2 < x < xc + L/2,
  • 0 , în celelalte situații,

unde kn = nπ/L și En = ℏωn = n2π22/2mL2

unde n este un număr întreg pozitiv (1,2,3,4 …). Pentru o cutie mutată (xc = L/2), soluția este deosebit de simplă. Cele mai simple soluții, kn = 0 sau A = 0, duc la funcția de undă trivială ψ(x) = 0, care descrie o particulă care nu există nicăieri în sistem. Valorile negative ale lui n sunt neglijate, deoarece ele dau funcții de undă identice cu soluțiile pozitive n, cu excepția unei schimbări de semn fizic neimportantă. Aici se vede că numai un set discret de valori ale energiei și numere de undă k este permis pentru particulă. De obicei, în mecanica cuantică este de asemenea cerut ca derivata funcției de undă, în plus față de funcția de undă însăși, să fie continuă; aici această cerere ar conduce la singura soluție ca fiind funcția constantă zero, ceea ce nu este ceea ce dorim, așa că renunțăm la această cerere (deoarece acest sistem cu potențial infinit poate fi privit ca un caz de limitare abstract non-fizic, îl putem trata ca astfel și „încălca regulile”). Rețineți că renunțarea la această cerere înseamnă că funcția de undă nu este o funcție diferențiabilă la limita cutiei și deci se poate spune că funcția de undă nu rezolvă ecuația Schrödinger la punctele de frontieră x = 0 și x = L (dar o rezolvă oriunde altundeva).

În cele din urmă, constanta necunoscută A poate fi găsită prin normalizarea funcției de undă astfel încât densitatea totală de probabilitate a găsirii particulei în sistem să fie 1. Rezultă că

|A| = √(2/L).

Astfel, A poate fi orice număr complex cu valoare absolută √(2/L); aceste valori diferite ale lui A dau aceeași stare fizică, astfel încât poate fi selectat A = √(2/L) pentru a simplifica.

Este de așteptat ca valorile proprii, adică energia En a cutiei, ar trebui să fie aceeași indiferent de poziția ei în spațiu, dar ψn(x,t) se modifică. Observați că xc – (L/2)L reprezintă o deplasare de fază în funcția de undă. Această schimbare de fază nu are efect atunci când se rezolvă ecuația Schrödinger și, prin urmare, nu afectează valoarea proprie.

Funcția de undă a impulsului

Funcția de undă a impulsului este proporțională cu transformarea Fourier a funcției de undă de poziție. Cu k = p/ℏ (rețineți că acest k, care descrie stările impulsului, nu este același lucru cu cel de mai sus, care descrie stările energiei), funcția de undă a impulsului este dată de:

Funcția de undă a impulsului

unde sinc(.) este funcția sinc (sinc(x) = sin(x)/x). Pentru cutia centrată (xc = 0), soluția este deosebit de simplă, deoarece factorul de fază din dreapta este unitatea. Rețineți că în cazul problematic al lui nπ + kL = 0 (adică k = kn), funcția sinc este, de asemenea, zero, și este luat cazul la limită.

Se poate observa că spectrul de impulsuri este continuu și se poate concluziona că pentru starea energetică descrisă de numărul de undă kn, impulsul poate, atunci când se măsoară, să atingă și alte valori decât p = ± ℏkn, deși acestea sunt cele mai probabile valori ale momentului (funcția de undă a impulsului atinge cele mai mari valori la aceste valori ale impulsului). Prin urmare, se observă că, deoarece energia este En = ℏ2kn2/2m (din moment ce vorbim despre a n-a stare proprie energetică) relația E = p2/2m nu este neapărat valabilă; aici p este impulsul măsurat (deoarece starea proprie a energiei ψn nu este o stare proprie a impulsului și, de fapt, nici o suprapunere a două stări proprii ale impulsului, așa cum se poate imagina din ecuația pentru ψ(x,t) de mai sus, nu are un impuls bine definit înainte de măsurare ).

Niveluri energetice
Energia unei particule într-o cutie (cercuri negre) și o particulă liberă (linia cenușie)
Sursa https://en.wikipedia.org/wiki/File:Confined_particle_dispersion_-_positive.svg

(Energia unei particule într-o cutie (cercuri negre) și o particulă liberă (linia cenușie), ambele depind de numărul de undă în același mod. Cu toate acestea, particula dintr-o cutie poate avea doar anumite nivele de energie discrete. )

Energiile care corespund fiecăror numere de undă permise pot fi scrise ca

En = n22π2/2mL2 = n2h2/8mL2.

Nivelurile de energie cresc cu n2, ceea ce înseamnă că nivelurile ridicate de energie sunt separate unul de celălalt cu o cantitate mai mare decât nivelul scăzut al energiei. Cea mai mică energie posibilă pentru particulă (energia punctului zero) se găsește în starea 1, care este dată de

E1 = ℏ2π2/2mL2.

Prin urmare, particula are întotdeauna o energie pozitivă. Acest lucru contrastează cu sistemele clasice, unde particula poate avea energie zero rămânând nemișcată. Acest lucru poate fi explicat prin prisma principiului incertitudinii, care afirmă că produsul incertitudinilor din poziția și impulsul unei particule este limitat de

ΔxΔp ≥ ℏ/2

Se poate demonstra că incertitudinea în poziția particulei este proporțională cu lățimea cutiei. Astfel, incertitudinea în impuls este aproximativ invers proporțională cu lățimea cutiei. Energia cinetică a unei particule este dată de E = p2/2m și, prin urmare, energia cinetică minimă a particulei într-o cutie este invers proporțională cu masa și pătratul lățimii puțului, în acord cu calitatea calculului de mai sus.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *