» » » » » » » Principiul timpului cel mai scurt (Principiul lui Fermat)

Principiul timpului cel mai scurt (Principiul lui Fermat)

postat în: Lumina | 0

Principiul lui Fermat conduce la legea lui Snell (Principiul lui Fermat conduce la legea lui Snell; când sinusurile unghiurilor din diferitele medii sunt în aceeași proporție cu vitezele de propagare, timpul pentru a ajunge de la P la Q este minimizat).

În optică, principiul Fermat sau principiul celui mai scurt timp, numit după matematicianul francez Pierre de Fermat, este principiul că traseul parcurs între două puncte de o rază de lumină este calea care poate fi traversată în cel mai scurt timp. Acest principiu este luat uneori ca definiția unei raze de lumină. Cu toate acestea, această versiune a principiului nu este generală; o afirmație mai modernă a principiului este că razele de lumină traversează calea lungimii optice staționare în raport cu variațiile căii. Cu alte cuvinte, o rază de lumină preferă calea astfel încât să existe și alte căi, în mod arbitrar în apropiere, de-o parte și de alta, de-a lungul cărora raza ar trece exact în același timp pentru a traversa.

Principiul lui Fermat poate fi folosit pentru a descrie proprietățile razele de lumină reflectate în oglinzi, refractate prin medii diferite sau supuse unei reflecții interne totale. Rezultă matematic din principiul lui Huygens (la limita lungimii de undă mică). Textul lui Fermat, Analyze des refractions, exploatează tehnica de adecvare pentru a deriva legea lui Snell a refracției și legea reflexiei.

Principiul lui Fermat are aceeași formă ca și principiul lui Hamilton și este baza opticii hamiltoniene.

Derivare

Clasic, principiul lui Fermat poate fi considerat o consecință matematică a principiului lui Huygens. Într-adevăr, din toate undele secundare (de-a lungul tuturor căilor posibile) undele cu căile extreme (staționare) contribuie cel mai mult la interferența constructivă. Să presupunem că undele luminoase se propagă de la A la B prin toate căile posibile ABj, nerestricționate inițial de reguli de optică geometrică sau fizică. Diferitele căi optice ABj vor varia mult în funcție de cantități ăn exces ale unei lungimi de undă, și astfel undele care ajung la B vor avea o gamă largă de faze și vor avea tendința de a interfera distructiv. Dar dacă există o rută scurtă AB0, și calea optică variază fără probleme prin ea, atunci un număr considerabil de rute învecinate apropiate de AB0 vor avea căi optice diferite de AB0 numai prin cantități de ordinul doi și, prin urmare, vor interfera constructiv. Undele de-a lungul și apropiată de această rută cea mai scurtă vor domina astfel și AB0 va fi traseul de-a lungul căruia lumina este văzută călătorind.

Principiul lui Fermat este principalul principiu al electrodinamicii cuantice care afirmă că orice particulă (de exemplu, un foton sau un electron) se propagă pe toate căile disponibile și neobstrucționate și că interferența sau suprapunerea funcției sale de undă asupra tuturor acelor căi din punctul de observație dă probabilitatea de a detecta particula în acest moment. Astfel, deoarece căile extreme (cele mai scurte, cele mai lungi, sau staționare) nu pot fi complet anulate, ele contribuie cel mai mult la această interferență. La om, de exemplu, principiul lui Fermat poate fi demonstrat într-o situație în care un salvamar trebuie să găsească cel mai rapid mod de a traversa atât plaja, cât și apa, pentru a ajunge la un înotător înecat. Principiul a fost testat în studii cu furnici, în care cuibul de furnici se află pe un capăt al unui container și alimentele se află pe capătul opus, dar furnicile aleg să urmeze calea celui mai scurt timp, mai degrabă decât calea cea mai directă.

În mecanica clasică a undelor, principiul lui Fermat rezultă din principiul de extrem al mecanicii (vezi principiul variațional).

Istorie

Euclid, în anul 320 î.e.n., în Catoptria (pe oglinzi, inclusiv în oglinzile sferice) și Optica, a pus bazele reflecției, repetate de Ptolemeu și apoi în cărțile sale mai detaliat, Heron din Alexandria a descris principiul reflexiei, care a afirmat că o rază de lumină care merge de la punctul A la punctul B, suferind un număr de reflexii pe oglinzile plate în același mediu, are o lungime mai mică decât oricare altă cale din apropiere.

Ibn al-Haytham (Alhacen), în Cartea de optică (1021), a extins principiul la reflecție și refracție și a exprimat o versiune timpurie a principiului celui mai scurt timp. Experimentele sale s-au bazat pe lucrări anterioare asupra refracției efectuate de omologul grec Ptolemeu.

Principiul generalizat al celui mai scurt timp în forma sa modernă a fost elaborat de către Fermat într-o scrisoare din 1 ianuarie 1662 adresată lui Cureau de la Chambre. A fost întâmpinată cu obiecții de către Claude Clerselier în mai 1662, un expert în optică și purtător de cuvânt al cartezienilor în acel moment. Printre obiecțiile sale, Clerselier afirmă:

… Principiul pe care-l luați ca bază pentru dovada dvs., și anume că natura acționează întotdeauna folosind cele mai simple și mai scurte căi, este doar una morală și nu una fizică. Nu este și nu poate fi cauza oricărui efect în natură.

Originalul francez, de la Mahoney, este după cum urmează:

”Le principe que vous prenez pour fondement de votre démonstration, à savoir que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples, n’est qu’un principe moral et non point physique, qui n’est point et qui ne peut être la cause d’aucun effet de la nature.”

Deși principiul lui Fermat nu este singurul, acum știm că poate fi derivat din principii anterioare, cum ar fi principiul lui Huygens.

Din punct de vedere istoric, principiul lui Fermat a servit ca principiu călăuzitor în formularea legilor fizice cu utilizarea calculului variațional.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *