» » » » » » Probleme cu tabla de șah

Probleme cu tabla de șah

Tabla de șahPe o tablă de șah obișnuită, 8 pe 8 pătrate, fiecare pătrat poate fi păzit, adică ocupat sau atacat de 5 regine, cel mai mic număr posibil. Există exact 91 de aranjamente fundamentale diferite în care nicio regină nu atacă o altă regină. Dacă fiecare regină trebuie să atace (sau să fie protejată de) o altă regină, există cel puțin 41 de aranjamente și am găsit 150 de moduri în care unele dintre regine sunt atacate și altele nu, însă ultimul caz este foarte dificil de evaluat exact.

Pe o tablă obișnuită de șah, fiecare pătrat poate fi păzit de 8 ture (cel mai mic număr posibil) în 40.320 de modalități, dacă nicio tură nu poate ataca o altă tură, dar nu se știe câte dintre ele sunt fundamental diferite.

Pe o tablă obișnuită de șah fiecare pătrat poate fi păzit de 8 nebuni (cel mai mic număr posibil), dacă nici un nebun nu poate ataca un alt nebun. Sunt necesari zece nebuni pentru ca fiecare nebun să fie protejat.

Pe o tablă obișnuită de șah, fiecare pătrat poate fi păzit de 12 cai, dacă toți, cu excepția a 4, nu sunt protejați. Dar dacă fiecare cal trebuie să fie protejat, sunt necesari 14 cai.

În cazul general al unei table de n x n (n2) pătrate, unde n este mai mic de 8, obținem următoarele rezultate:

  • 1 damă păzește tabla de 22 în 1 mod fundamental (protejat).
  • 1 damă păzește tabla de 32 în 1 mod fundamental (neprotejat).
  • 2 dame păzesc tabla de 42 în 3 moduri fundamentale (protejate).
  • 3 dame păzesc tabla de 42 în 2 moduri fundamentale (neprotejate).
  • 3 dame păzesc tabla de 52 în 37 de moduri fundamentale (protejate).
  • 3 dame păzesc tabla de 52 în 2 moduri fundamentale (neprotejate).
  • 3 dame păzesc tabla de 62 în 1 mod fundamental (protejat).
  • 4 dame păzesc tabla de 62 în 17 moduri fundamentale (neprotejate).
  • 4 dame păzesc tabla de 72 în 5 moduri fundamentale (protejate).
  • 4 dame păzesc tabla de 72 în 1 mod fundamental (neprotejate).

Aranjamente pe tabla de șah fără atac

Știm că n regine pot fi întotdeauna plasate pe o tablă pătrată de n2 pătrate (dacă n este mai mare de 3) fără ca vreo regină să atace altă regină. Dar nu a fost încă descoperită nicio formulă generală care să evalueze numărul de moduri diferite în care ar putea fi făcută; probabil este nedescoperit. Rezultatele cunoscute sunt după cum urmează:

  • Unde n = 4 există o soluție fundamentală și 2 în total.
  • Unde n = 5 există 2 soluții fundamentale și 10 în total.
  • Unde n = 6 există o soluție fundamentală și 4 în total.
  • Unde n = 7 există 6 soluții fundamentale și 40 în total.
  • Unde n = 8 există 12 soluții fundamentale și 92 în total.
  • Unde n = 9 există 46 de soluții fundamentale.
  • Unde n = 10 există 92 de soluții fundamentale.
  • Unde n = 11 există 341 de soluții fundamentale.

Evident, n ture pot fi plasate fără atac pe o tablă n2 în n! moduri, dar câte dintre acestea sunt fundamental diferite am aflat numai în cele patru cazuri în care n este egal cu 2, 3, 4 și 5. Răspunsurile sunt, respectiv, 1, 2, 7 și 23.

Putem plasa 2n-2 nebuni pe o tablă n2 în 2n moduri. Pentru tablele care conțin 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 pătrate, pe o parte există, respectiv, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 36 aranjamente fundamentale diferite. Unde n este impar, există 2½(n-1) astfel de aranjamente, fiecare dând 4 prin inversări și reflexii și 2n-3-2½ (n-3) care dau 8. Unde n este par există 2½(n-2), fiecare dând 4 prin inversări și reflexii, și 2n-3-2½(n-4), fiecare datând 8.

Putem plasa ½ (n2+1) cai pe o tablă n2 fără atac, când n este impar, în un mod fundamental; și ½n2 cai pe o tablă n2, când n este par, într-un mod fundamental. În primul caz plasăm toți caii în aceeași culoare ca și pătratul central; în cel de-al doilea caz îi punem pe toți pe pătrate negre sau pe albe.

Problema celor două piese

Pe o tablă de n2 pătrate pot fi plasate întotdeauna două regine, două ture, doi nebuni sau doi cai, indiferent dacă să fie atacate sau nu, în 1/2(n4 – n2) moduri. Următoarea formulă va arăta în câte dintre aceste moduri cele două piese pot fi plasate cu atac și fără:

Cu atac Fără atac
2 dame 5n3 – 6n2 + n 3n4 – 10n3 + 9n2 – 2n
3 6
2 ture n3 – n2 n4 – 2n3 + n2
2
2 nebuni 4n3 – 6n2 + 2n 3n4 – 4n3 + 3n2 – 2n
6 6
2 cai 4n2 – 12n + 8 n4 – 9n2 + 24n
2

Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu, după ”Amusements in Mathematics”, de Henry Ernest Dudeney

Summary
Review Date
Reviewed Item
Probleme cu tabla de șah
Author Rating
51star1star1star1star1star
Share...Share on FacebookTweet about this on TwitterShare on Google+Share on LinkedInShare on RedditShare on StumbleUponShare on TumblrPin on PinterestEmail this to someone

Lasă un Răspuns