» » » » » » Stări proprii și valori proprii în mecanica cuantică

Stări proprii și valori proprii în mecanica cuantică

Din cauza principiului incertitudinii, afirmațiile referitoare atât la poziția cât și la impulsul particulelor pot atribui doar o probabilitate ca poziția sau impulsul să aibă o valoare numerică. Principiul incertitudinii mai spune că eliminarea incertitudinii privind poziția maximizează incertitudinea cu privire la impuls și eliminarea incertitudinii cu privire la impuls maximizează incertitudinea cu privire la poziție. Distribuția de probabilități atribuie probabilități tuturor posibilelor valori ale poziției și ale impulsului. Ecuația de undă a lui Schrödinger oferă soluții ale funcției de undă, ale căror pătrate sunt probabilități ale locului unde ar putea fi electronul, la fel ca în cazul distribuției de probabilități a lui Heisenberg.

În lumea de zi cu zi, este natural și intuitiv să gândim că fiecare obiect este în propria sa stare. Acesta este un alt mod de a spune că fiecare obiect pare să aibă o poziție definită, un moment determinat, o valoare măsurată definită și un timp definit de apariție. Cu toate acestea, principiul incertitudinii spune că este imposibil să se măsoare valoarea exactă pentru impulsul unei particule precum un electron, dacă poziția sa a fost determinată la un anumit moment. De asemenea, este imposibil să se determine locația exactă a acestei particule odată măsurat impulsul său într-un anumit moment.

De aceea, a devenit necesar să se formuleze în mod clar diferența dintre starea a ceva care este nesigur în modul descris mai sus, precum un electron într-un nor de probabilitate, și starea a ceva cu o valoare definită. Atunci când un obiect poate fi „fixat” într-un anumit sens, se spune că posedă o stare proprie. Atunci când funcția de undă colapsează deoarece poziția unui electron a fost determinată, starea electronului devine o „stare proprie a poziției”, ceea ce înseamnă că poziția sa are o valoare cunoscută, o valoare proprie a stării proprii a poziției.

Expresia „stare proprie” este derivată din cuvântul german/olandez „eigen”, adică „inerent” sau „caracteristic”. O stare proprie este starea măsurată a unui obiect care posedă caracteristici cuantificabile cum ar fi poziția, impulsul etc. Starea măsurată și descrisă trebuie să fie observabilă (adică ceva precum poziția sau impulsul care poate fi măsurat experimental fie direct, fie indirect) și trebuie să aibă o valoare definită, numită valoare proprie. („Valoarea proprie” se referă, de asemenea, la o proprietate matematică a matricelor pătrate, o utilizare inițiată de matematicianul David Hilbert în 1904. Astfel de matrici se numesc operatori auto-adjuncți și reprezintă observabile în mecanica cuantică.)

Valori proprii și vectori proprii

Mona Lisa, mapare (În această mapare de forfecare, săgeata roșie schimbă direcția, dar săgeata albastră nu o face. Săgeata albastră este un vector propriu al acestei mapări deoarece nu schimbă direcția și având în vedere că lungimea sa este neschimbată, valoarea proprie a sa este 1)

În algebra liniară, un vector propriu sau un vector caracteristic al unei transformări liniare este un vector non-zero care se modifică numai printr-un factor scalar atunci când se aplică acea transformare liniară. În mod formal, dacă T este o transformare liniară dintr-un spațiu vectorial V peste un câmp F în sine și v este un vector în V care nu este vectorul zero, atunci v este un vector propriu al lui T dacă T(v) este un multiplu scalar al lui v. Această condiție poate fi scrisă ca ecuația

T(v) = λv,

unde λ este un scalar în câmpul F, cunoscut ca valoarea proprie, valoarea caracteristică sau rădăcina caracteristică asociată vectorului propriu v.

Dacă spațiul vectorial V este finit-dimensional, atunci transformarea liniară T poate fi reprezentată ca o matrice pătrată A, iar vectorul v printr-un vector de coloană, redând maparea de mai sus ca o multiplicare de matrice pe partea stângă și o scalare a vectorul de coloană din partea dreaptă în ecuația

Av = λv.

Există o corespondență între matricele pătrate n ori n  și transformări liniare dintr-un spațiu vectorial n-dimensional în el însuși. Din acest motiv, este echivalentă definirea valorilor proprii și a vectorilor proprii folosind fie limbajul matricelor, fie limba limbajul transformărilor liniare.

Din punct de vedere geometric, un vector propriu, care corespunde unei valori proprii reale nonzero, indică o direcție care este extinsă de transformare, iar valoarea proprie este factorul prin care este extinsă. Dacă valoarea proprie este negativă, direcția este inversată.

Valorile proprii și vectorii proprii apar proeminent în analiza transformărilor liniare. Cuvântul propriu este traducerea cuvântului german eigen cu sensul de „propriu”, „caracteristic”. Folosite inițial pentru a studia axele principale ale mișcării de rotație a corpurilor rigide, valorile proprii și vectorii proprii au o gamă largă de aplicații, de exemplu în analiza stabilității, analiza vibrațiilor, orbitalii atomici, recunoașterea facială și diagonalizarea matricelor.

Exemplul din Mona Lisa prezentat mai sus oferă o ilustrație simplă. Fiecare punct de pe pictură poate fi reprezentat ca un vector care indică de la centrul pictării până la acel punct. Transformarea liniară în acest exemplu se numește o mapare tip forfecare. Punctele din jumătatea superioară sunt mutate spre dreapta și punctele din jumătatea inferioară sunt deplasate spre stânga proporțional cu cât sunt de departe de la axa orizontală care trece prin mijlocul tabloului. Vectorii care indică fiecare punct din imaginea originală sunt, prin urmare, înclinate spre dreapta sau spre stânga și făcuți mai lungi sau mai scurți de transformare. Observați că punctele de-a lungul axei orizontale nu se mișcă deloc când se aplică această transformare. Prin urmare, orice vector care indică direct spre dreapta sau spre stânga fără componentă verticală este un vector propriu al acestei transformări, deoarece maparea nu îi schimbă direcția. Mai mult decât atât, acești vectori proprii au toți o valoare proprie egală cu unu pentru că maparea nu le schimbă nici lungimea.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *