» » » » » » Stări staționare în mecanica cuantică

Stări staționare în mecanica cuantică

O stare staționară este o stare cuantică, cu toate observabilele independente de timp. Este un vector propriu al hamiltonianului. Aceasta corespunde unei stări cu o singură energie definită (în loc de o suprapunere cuantică a diferitelor energii). Se mai numește și vector propriu al energiei, stare proprie a energiei, funcție proprie a energiei sau ket propriu al energiei. Este foarte asemănătoare cu conceptul de orbital atomic și orbital molecular în chimie, cu câteva mici diferențe explicate mai jos.

Oscilatorul armonic în mecanica clasică și mecanica cuantică(Oscilatorul armonic în mecanica clasică (A-B) și mecanica cuantică (C-H). În (A-B), o bilă, atașată la un arc, oscilează înainte și înapoi. (C-H) sunt șase soluții pentru ecuația Schrödinger pentru această situație. Axa orizontală este poziția, axa verticală este partea reală (albastră) sau partea imaginară (roșie) a funcției de undă. (C, D, E, F), dar nu și (G, H), sunt stări staționare sau unde staționare. Frecvența de oscilație a undei staționare, timpii constantei lui Planck, este energia stării.)

O stare este numită staționară dacă sistemul rămâne în aceeași stare în timp, în orice mod observabil. Pentru o particulă hamiltoniană, aceasta înseamnă că particula are o distribuție constantă a probabilității pentru poziție, viteză, spin, etc. (Acest lucru este adevărat presupunând că mediul particulelor este de asemenea static, adică hamiltonianul este neschimbat în timp.) Funcția de undă însăși nu este staționară: își schimbă continuu factorul de fază complex total, astfel încât să formeze o undă staționară. Frecvența de oscilație a undei staționare, de ori constanta lui Planck, este energia stării conform relației Planck-Einstein.

Stările staționare sunt stări cuantice care sunt soluții pentru ecuația Schrödinger independentă de timp:

Ĥ|Ψ› = EΨ|Ψ›,

unde |Ψ› este o stare cuantică, care este o stare staționară dacă satisface această ecuație; Ĥ este operatorul hamiltonian; EΨ este un număr real și corespunde valorii proprii a energiei stării |Ψ›.

Aceasta este o ecuație pentru valori proprii: Ĥ este un operator liniar pe un spațiu vectorial, |Ψ› este un vector propriu al lui Ĥ, iar EΨ este valoarea sa proprie.

Dacă o stare staționară |Ψ› este conectată la ecuația Schrödinger dependentă de timp, rezultatul este:

iħ(∂/∂t)|Ψ› = EΨ|Ψ›

Presupunând că Ĥ este independent de timp (neschimbat în timp), această ecuație este valabilă pentru orice moment t. Prin urmare, aceasta este o ecuație diferențială care descrie modul în care |Ψ› variază în timp. Soluția sa este:

|Ψ(t)› = e-iEt/ħ|Ψ(0)›

Prin urmare, starea staționară este o undă staționară care oscilează cu un factor de fază complex total, iar frecvența ei unghiulară de oscilație este egală cu energia sa împărțită la ħ.

Proprietăți ale stării staționare

Trei soluții ale funcției de undă la ecuația Schrödinger dependentă de timp pentru un oscilator armonic(Trei soluții ale funcției de undă la ecuația Schrödinger dependentă de timp pentru un oscilator armonic. Stânga: Partea reală (albastră) și partea imaginară (roșie) a funcției de undă. Dreapta: Probabilitatea de a găsi particula într-o anumită poziție. Cele două rânduri de sus sunt două stări staționare, iar partea de jos este starea de suprapunere ψN ≡ (ψ0 + ψ1)/√2, care nu este o stare staționară. Coloana din dreapta ilustrează motivul pentru care starea staționară se numește ”staționară”.)

Așa cum am arătat mai sus, o stare staționară nu este matematic constantă:

|Ψ(t)› = e-iEt/ħ|Ψ(0)›

Totuși, toate proprietățile observabile ale stării sunt de fapt constante. De exemplu, dacă |Ψ(t)› reprezintă o simplă funcție de undă Ψ(x,t) undimensională a unei singure particule, probabilitatea ca particula să se situeze în locația x este:

|Ψ(x,t)|2 = |e-iEt/ħ|Ψ(x,0)›|2 = |e-iEt/ħ|2|Ψ(0)›2 = |Ψ(x,0)|2

care este independent de timpul t.

Imaginea lui Heisenberg este o formulare matematică alternativă a mecanicii cuantice, în care stările staționare sunt cu adevărat matematic constante în timp.

După cum am menționat mai sus, aceste ecuații presupun că hamiltonianul este independent de timp. Aceasta înseamnă pur și simplu că stările sunt staționare doar atunci când restul sistemului este fix și staționar. De exemplu, un electron 1s într-un atom de hidrogen este într-o stare staționară, dar dacă atomul de hidrogen reacționează cu un alt atom, atunci electronul va fi, desigur, perturbat.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *