Home » Articole » RO » Societate » Filozofie » Filozofia științei » Teme și școli de gândire în filosofia matematicii

Teme și școli de gândire în filosofia matematicii

Teme majore

Realism matematic

Realismul matematic, ca și realismul în general, susține că entitățile matematice există independent de mintea umană. Astfel, oamenii nu inventează matematica, ci o descoperă și orice alte ființe inteligente din univers ar face probabil același lucru. În acest punct de vedere, există într-adevăr un fel de matematică care poate fi descoperită; triunghiurile, de exemplu, sunt entități reale, nu creațiile minții umane.

Mulți matematicieni au fost realiști matematici; ei se văd ca fiind descoperitori ai obiectelor care apar în mod natural. Exemple includ pe Paul Erdős și Kurt Gödel. Gödel credea într-o realitate matematică obiectivă care putea fi percepută într-o manieră analogă percepției simțitoare. Anumite principii (de exemplu, pentru orice două obiecte, există o colecție de obiecte constând exact din acele două obiecte) ar putea fi considerate direct adevărate, dar conjectura ipotezei continuumului s-ar putea dovedi nedecidabilă doar pe baza unor astfel de principii. Gödel a sugerat că metodologia cvasi-empirică ar putea fi utilizată pentru a oferi dovezi suficiente pentru a putea presupune în mod rezonabil o astfel de conjectură.

În realism, există diferențe în funcție de ce fel de existență se consideră pentru entitățile matematice, și cum aflăm despre ele. Principalele forme de realism matematic includ platonismul.

Antirealism matematic

Antirealismul matematic susține, în general, că enunțurile matematice au valori de adevăr, dar că aceasta nu se realizează prin corespondenșa cu un tărâm special al entităților imateriale sau non-empirice. Principalele forme de antirealism matematic includ formalismul și ficționalismul.

Școli contemporane de gândire

Artistic

Opinia care susține că matematica este combinația estetică a relațiilor logice și, de asemenea, susține că matematica este o artă, un matematician celebru care susține aceasta este britanicul G. H. Hardy și, de asemenea, metaforic francezul Henri Poincaré.

Platonism

Platonismul matematic este forma realismului care sugerează că entitățile matematice sunt abstracte, nu au proprietăți spațiotemporale sau cauzale și sunt eterne și neschimbătoare. Se afirmă adesea că este opinia pe care o au cei mai mulți oameni despre numere. Termenul de platonism este folosit pentru că o astfel de viziune este văzută în paralel cu Teoria formelor lui Platon și cu „Lumea ideilor” (greacă: eidos (εἶδος)) descrisă în alegoria lui Platon a peșterii: lumea de zi cu zi nu poate decât să se apropie imperfect de o schimbare, realitate finală. Atât peștera lui Platon, cât și platonismul au legături semnificative, nu doar superficiale, pentru că ideile lui Platon au fost precedate și probabil influențate de pitagoreii extrem de populari din Grecia antică, care credeau că lumea era, literal, generată de numere.

O întrebare majoră luată în considerare în platonismul matematic este: Unde exact și cum există entitățile matematice și cum știm despre ele? Există o lume, complet separată de cea fizică, care este ocupată de entitățile matematice? Cum putem avea acces la această lume separată și să descoperim adevăruri despre entități? Un răspuns propus este ipoteza universului matematic, o teorie care postulează că toate structurile care există matematic există, de asemenea, fizic în propriul univers.

(Kurt Gödel)

Platonismul lui Kurt Gödel postulează un fel special de intuiție matematică care ne permite să percepem direct obiecte matematice. (Această viziune are asemănări cu multe lucruri pe care Husserl le-a spus despre matematică și susține ideea lui Kant conform căreia matematica este sintetică a priori.) Davis și Hersh au sugerat în cartea lor din 1999 The Mathematical Experience că majoritatea matematicienilor acționează ca și când ar fi platoniști, chiar dacă, dacă sunt puși să apere cu atenție poziția, se pot retrage în formalism.

Platonismul pursânge este o variantă modernă a platonismului, care reacționează la faptul că diferite seturi de entități matematice pot fi dovedite că există în funcție de axiomele și regulile de inferență utilizate (de exemplu, legea mijlocului exclus și axioma de alegere). Este de părere că toate entitățile matematice există, cu toate acestea ele pot fi probabile, chiar dacă nu toate pot fi derivate dintr-un singur set consistent de axiome.

Realismul teoretic de set (de asemenea platonismul teoretic de set) este o poziție apărată de Penelope Maddy, punctul de vedere că teoria seturilor este despre un singur univers de seturi. Această poziție (care este cunoscută și sub numele de platonism naturalizat, deoarece este o versiune naturalizată a platonismului matematic) a fost criticată de Mark Balaguer pe baza problemei epistemologice a lui Paul Benacerraf. O viziune similară, denumită naturalism platonizat, a fost ulterior apărată de Școala Stanford-Edmonton: conform acestei păreri, un tip de platonism mai tradițional este în concordanță cu naturalismul; felul mai tradițional de platonism pe care îl apără se distinge prin principii generale care afirmă existența unor obiecte abstracte.

Matematicism

Ipoteza universului matematic (sau matematicismul) lui Max Tegmark depășește platonismul în a afirma că nu numai că toate obiectele matematice există, dar nimic altceva nu face acest lucru. Singurul postulat al lui Tegmark este: Toate structurile care există matematic există, de asemenea, fizic. Adică, în sensul că „în acele [lumi] suficient de complexe pentru a conține substructuri conștiente de sine [ele] se vor percepe subiectiv ca fiind existente într-o lume „reală” fizică.”

Logicism

Logicismul este teza conform căreia matematica este reductibilă la logică și, prin urmare, nu este decât o parte din logică. Logicienii susțin că matematica poate fi cunoscută a priori, dar sugerează că cunoștințele noastre de matematică sunt doar o parte din cunoștințele noastre de logică în general și, prin urmare, sunt analitice, nefiind necesară nicio facultate specială de intuiție matematică. În acest sens, logica este fundamentul propriu-zis al matematicii și toate afirmațiile matematice sunt adevăruri logice necesare.

Rudolf Carnap (1931) prezintă teza logistică în două părți:

  1. Conceptele de matematică pot fi derivate din concepte logice prin definiții explicite.
  2. Teoremele matematicii pot fi derivate din axiome logice prin deducție pur logică.

Gottlob Frege a fost fondatorul logicismului. În seminalul său Die Grundgesetze der Arithmetik (Legile de bază ale aritmeticii) a construit aritmetica dintr-un sistem de logică cu un principiu general de înțelegere, pe care l-a numit „Legea fundamentală V” (pentru conceptele F și G, extensia lui F este egală cu extensia lui G dacă și numai dacă pentru toate obiectele a, Fa este egal cu Ga), un principiu pe care el l-a considerat acceptabil ca parte a logicii.

(Bertrand Russell)

Construcția lui Frege a fost defectuoasă. Russell a descoperit că Legea fundamentală V este inconsistentă (acesta este paradoxul lui Russell). Frege și-a abandonat programul logistic la scurt timp după aceasta, dar a fost continuat de Russell și Whitehead. Ei au atribuit paradoxul „circularității vicioase” și au construit ceea ce ei numeau teoria tipului ramificat pentru a face față. În acest sistem, au fost în cele din urmă capabile să construiască o mare parte din matematica modernă, dar într-o formă modificată și excesiv de complexă (de exemplu, existau numere naturale diferite în fiecare tip și existau infinit de multe tipuri). De asemenea, au trebuit să facă mai multe compromisuri pentru a dezvolta atât de multă matematică, cum ar fi o „axiomă a reducibilității”. Chiar și Russell a spus că această axiomă nu a aparținut cu adevărat logicii.

Logicienii moderni (precum Bob Hale, Crispin Wright și, probabil, alții) au revenit la un program mai apropiat de cel al lui Frege. Au abandonat Legea fundamentală V în favoarea principiilor de abstractizare, cum ar fi principiul lui Hume (numărul de obiecte care intră sub conceptul F este egal cu numărul de obiecte care se încadrează în conceptul G dacă și numai dacă extensia lui F și extensia lui G pot fi puse într-o corespondență unu la unu). Frege a impus Legea fundamentală V pentru a putea da o definiție explicită a numerelor, dar toate proprietățile numerelor pot fi derivate din principiul lui Hume. Acest lucru nu ar fi fost suficient pentru Frege, deoarece (pentru a-l parafraza) nu exclude posibilitatea ca numărul 3 să fie de fapt Julius Cezar. În plus, multe dintre principiile slăbite pe care au fost nevoiți să le adopte pentru a înlocui Legea fundamentală V nu mai par atât de evident analitice și, deci, pur logice.

Formalism

Formalismul susține că enunțurile matematice pot fi considerate afirmații despre consecințele anumitor reguli de manipulare a șirurilor. De exemplu, în „jocul” geometriei euclidiene (care este văzută ca fiind alcătuită din unele șiruri numite „axiome” și unele „reguli de inferență” pentru a genera șiruri noi din cele date), se poate dovedi că teorema pitagoreică e valabilă ( adică se poate genera șirul corespunzător teoremei pitagoreice). Conform formalismului, adevărurile matematice nu se referă la numere și seturi și triunghiuri și altele asemănătoare – de fapt, nu sunt „despre” absolut nimic.

O altă versiune a formalismului este adesea cunoscută sub numele de deductivism. În deductivism, teorema pitagoreică nu este un adevăr absolut, ci unul relativ: dacă cineva atribuie semnificație șirurilor în așa fel încât regulile jocului să devină adevărate (adică, afirmațiile adevărate sunt atribuite axiomelor și regulile din inferență păstrează adevărul), atunci trebuie să accepte teorema sau, mai degrabă, interpretarea pe care i-a dat-o trebuie să fie o afirmație adevărată. Același lucru este valabil pentru toate celelalte enunțuri matematice. Astfel, formalismul nu înseamnă decât că matematica nu este altceva decât un joc simbolic fără sens. De obicei, se speră că există o anumită interpretare în care regulile jocului sunt valabile. Dar permite matematicianului să continue în activitatea sa și să lase astfel de probleme filosofului sau omului de știință. Mulți formaliști ar spune că, în practică, sistemele de axiome care urmează să fie studiate vor fi sugerate de cerințele științei sau de alte domenii ale matematicii.

(David Hilbert)

Un important susținător timpuriu al formalismului a fost David Hilbert, al cărui program se dorea a fi o axiomatizare completă și constantă a tuturor matematicii. Hilbert și-a propus să arate consistența sistemelor matematice de la presupunerea că „aritmetica finitivă” (un subsistem al aritmeticii obișnuite a numerelor întregi pozitive, alese pentru a fi necontroversate filosofic) este consistentă. Obiectivele lui Hilbert de a crea un sistem de matematică care este atât complet, cât și consecvent, au fost grav afectate de a doua teoremă a incompletitudinii lui Gödel, care afirmă că sistemele de axiome suficient de expresive nu pot dovedi niciodată propria lor consistență. Întrucât un astfel de sistem de axiome ar conține aritmetica finită ca subsistem, teorema lui Gödel presupunea că ar fi imposibil să se demonstreze consistența sistemului în raport cu aceasta (din moment ce își va dovedi propria consistență, ceea ce Gödel arătase că era imposibil). Astfel, pentru a arăta că orice sistem axiomatic al matematicii este de fapt consecvent, trebuie să presupunem în primul rând coerența unui sistem de matematică, care este într-un sens mai puternic decât sistemul pentru a fi dovedit consecvent.

Hilbert a fost inițial deductivist, dar, după cum se poate vedea de mai sus, el a considerat anumite metode metamaticiste pentru a da rezultate intrinsec semnificative și a fost un realist în ceea ce privește aritmetica finită. Ulterior, el a considerat că nu există nicio altă matematică semnificativă, indiferent de interpretare.

Alți formaliști, precum Rudolf Carnap, Alfred Tarski și Haskell Curry, au considerat că matematica este investigarea sistemelor formale de axiome. Logicienii matematici studiază sistemele formale, dar sunt la fel de mult realiști ca și formaliștii.

Formaliștii sunt relativ toleranți și invită la noi abordări ale logicii, sistemelor numerice nestandardizate, teoriilor de noi seturi etc. Cu cât studiem mai multe jocuri, cu atât mai bine. Cu toate acestea, în toate aceste trei exemple, motivația este bazată pe preocupările matematice sau filozofice existente. „Jocurile” nu sunt de obicei arbitrare.

Principala critică a formalismului este că ideile matematice reale care ocupă matematicienii sunt departe de jocurile de manipulare a șirurilor menționate mai sus. Formalismul este astfel tăcut cu privire la care sisteme de axiomă trebuie studiate, deoarece niciunul nu are mai mult sens decât altul din punct de vedere formalist.

Recent, unii matematicieni formaliști au propus ca toate cunoștințele noastre formale de matematică să fie codificate sistematic în formate care pot fi citite de computer, astfel încât să faciliteze verificarea automată a dovezilor matematice și utilizarea demonstrării teoremei interactive în dezvoltarea teoriilor matematice și a software-ului computerizat . Datorită legăturii strânse cu informatica, această idee este susținută și de intuiționiștii și constructivistii matematici din tradiția „computabilității”.

Convenţionalism

Matematicianul francez Henri Poincaré a fost printre primii care au articulat o viziune convenționalistă. Folosirea de geometrii non-euclidiene de către Poincaré în lucrarea sa despre ecuații diferențiale l-a convins că geometria euclidiană nu trebuie privită ca adevăr a priori. El a afirmat că axiomele din geometrie ar trebui să fie alese pentru rezultatele pe care le produc, nu pentru coerența lor aparentă cu intuițiile umane despre lumea fizică.

Intuiționism

În matematică, intuiționismul este un program de reformă metodologică al cărui motto este că „nu există adevăruri matematice neexperimentate” (L. E. J. Brouwer). Din această trambulină, intuiționiștii încearcă să reconstruiască ceea ce consideră a fi porțiunea corigibilă a matematicii, în conformitate cu conceptele kantiene despre ființă, devenire, intuiție și cunoaștere. Brouwer, fondatorul mișcării, a susținut că obiectele matematice apar din formele a priori ale volițiilor care informează percepția asupra obiectelor empirice.

O forță majoră în spatele intuiționismului a fost L. E. J. Brouwer, care a respins utilitatea logicii oficializate a oricărui tip de matematică. Studentul său Arend Heyting a postulat o logică intuiționalistă, diferită de logica aristotelică clasică; această logică nu conține legea mijlocului exclus și, prin urmare, se confruntă cu dovezi prin contradicție. Axioma de alegere este de asemenea respinsă în cele mai multe teorii intuiționiste, deși în unele versiuni este acceptată.

În intuiționism, termenul „construcție explicită” nu este definit curat și asta a dus la critici. S-au încercat folosirea conceptelor de mașină Turing sau a funcției computabile pentru a umple acest gol, ceea ce duce la afirmația că numai întrebările referitoare la comportamentul algoritmilor finiți sunt semnificative și ar trebui cercetate în matematică. Acest lucru a dus la studiul numerelor computabile, introduse pentru prima dată de Alan Turing. Nu este surprinzător, atunci, că această abordare a matematicii este uneori asociată cu informatica teoretică.

Constructivism

La fel ca intuiționismul, constructivismul implică principiul regulativ potrivit căruia numai entitățile matematice care pot fi construite explicit într-un anumit sens ar trebui să fie admise în discursul matematic. În acest sens, matematica este un exercițiu al intuiției umane, nu un joc jucat cu simboluri lipsite de sens. În schimb, este vorba despre entități pe care le putem crea direct prin activitatea mentală. În plus, unii adepți ai acestor școli resping dovezile neconstructiviste, precum o dovadă prin contradicție. Lucrări importante au fost făcute de Errett Bishop, care a reușit să demonstreze versiuni ale celor mai importante teoreme în analiza reală ca analiză constructivă în Fundațiile de analiză constructivă din 1967.

Finitism

Finitismul este o formă extremă de constructivism, conform căruia un obiect matematic nu există decât dacă poate fi construit din numere naturale într-un număr finit de pași. În cartea ei Filosofia teoriei seturilor, Mary Tiles i-a caracterizat pe cei care permit obiecte infinit numărabile ca niște finitiști clasici, iar pe cei care neagă chiar și obiecte nenumărabile ca finitiști.

(Leopold Kronecker)

Cel mai faimos susținător al finitismului a fost Leopold Kronecker, care a spus:

”Dumnezeu a creat numerele naturale, toate celelalte sunt opera omului.”

Ultrafinitismul este o versiune și mai extremă a finitismului, care respinge nu doar infinitele, ci și cantitățile finite care nu pot fi construite în mod fezabil cu resursele disponibile. O altă variantă a finitismului este aritmetica euclidiană, un sistem dezvoltat de John Penn Mayberry în cartea sa The Foundations of Mathematics in Theory of Sets. Sistemul lui Mayberry este aristotelic în inspirație generală și, în ciuda respingerii puternice a oricărui rol pentru operaționalism sau fezabilitate în fundamentele matematicii, ajunge la concluzii oarecum similare, cum ar fi, de exemplu, că supra-exponențierea nu este o funcție finitivă legitimă.

Structuralism

Structuralismul este o poziție care susține că teoriile matematice descriu structuri și că obiectele matematice sunt definite exhaustiv de locurile lor în astfel de structuri, neavând în consecință proprietăți intrinseci. De exemplu, ar susține că tot ce trebuie cunoscut despre numărul 1 este că acesta este primul număr întreg după 0. De asemenea, toate celelalte numere întregi sunt definite de locurile lor într-o structură, linia numerică. Alte exemple de obiecte matematice pot include linii și planuri în geometrie, sau elemente și operații în algebră abstractă.

Structuralismul este o viziune epistemologic realistă prin faptul că susține că enunțurile matematice au o valoare de adevăr obiectivă. Cu toate acestea, revendicarea sa centrală se referă numai la ce fel de entitate este un obiect matematic, nu la ce fel de existență au obiecte sau structuri matematice (nu, cu alte cuvinte, la ontologia lor). Genul de existență al obiectelor matematice ar fi în mod clar dependent de cel al structurilor în care sunt încorporate; diferite sub-tipuri de structuralism fac diferite afirmații ontologice în această privință.

Structuralismul ante rem („înainte de lucru”) are o ontologie similară cu platonismul. Structurile sunt considerate a avea o existență reală, dar abstractă și imaterială. Ca atare, se confruntă cu problema epistemologică standard a explicării interacțiunii dintre astfel de structuri abstracte și matematicienii în carne și oase.

Structuralismul in re („în lucru”) este echivalentul realismului aristotelian. Structurile sunt considerate a exista în măsura în care unele exemple concrete le exemplifică. Aceasta implică problemele obișnuite că unele structuri perfect legitime ar putea să se întâmple accidental să nu existe și că o lume fizică finită ar putea să nu fie suficient de „mare” pentru a se adapta unor structuri altfel legitime.

Structurismul post rem („după lucru”) este anti-realist în privința structurilor într-un mod care să fie paralel cu nominalismul. Ca și nominalismul, abordarea post rem neagă existența unor obiecte matematice abstracte cu alte proprietăți decât locul lor într-o structură relațională. Conform acestui punct de vedere există sisteme matematice și au caracteristici structurale comune. Dacă ceva este adevărat pentru o structură, aceasta va fi adevărată pentru toate sistemele care exemplifică structura. Cu toate acestea, este pur și simplu instrumental să vorbim de structuri ca fiind „valabile în comun“ între sisteme: ele, de fapt, nu au o existență independentă.

Teoriile minții întruchipate

Teoriile minții întruchipate susțin că gândirea matematică este o evoluție naturală a aparatului cognitiv uman care se regăsește în universul nostru fizic. De exemplu, conceptul abstract al numărului izvorăște din experiența numărării obiectelor discrete. Se consideră că matematica nu este universală și nu există în niciun sens real, altfel decât în ​​creierul uman. Oamenii construiesc, nu descoperă, matematica.

Prin această perspectivă, universul fizic poate fi astfel văzut ca fundamentul suprem al matematicii: a ghidat evoluția creierului și a determinat ulterior ce întrebări ar putea găsi acest creier demne de investigat. Cu toate acestea, mintea umană nu are nicio pretenție specială asupra realității sau abordări ale acesteia construite din matematică. Dacă astfel de construcții precum identitatea lui Euler sunt adevărate, ele sunt adevărate ca o hartă a minții și a cogniției umane.

Teoreticienii minții întruchipate explică astfel eficacitatea matematicii – matematica a fost construită de creier pentru a fi eficientă în acest univers.

Cel mai accesibil, faimos și infam tratament din această perspectivă este De unde vine matematica, de George Lakoff și Rafael E. Núñez. În plus, matematicianul Keith Devlin a investigat concepte similare cu cartea sa Instinctul de matematică, așa cum l-a făcut și neurologul Stanislas Dehaene cu cartea sa Sensul nuemrelor.

Realismul aristotelic

Realismul aristotelic susține că matematica studiază proprietăți precum simetria, continuitatea și ordinea care pot fi realizate literalmente în lumea fizică (sau în orice altă lume ar putea exista). Contrasteaz cu platonismul, afirmând că obiectele matematicii, cum ar fi numerele, nu există într-o lume „abstractă”, dar pot fi realizate fizic. De exemplu, numărul 4 este realizat în relația dintre o grămadă de papagali și „a fi un papagal” universală care împarte grămada în atâția papagali. Realismul aristotelic este apărat de James Franklin și Școala din Sydney în filozofia matematicii, și este aproape de punctul de vedere al luiPenelope Maddy că, atunci când este deschis un carton, se percepe un set de trei ouă (adică o entitate matematică realizată în lume fizică). O problemă pentru realismul aristotelic este ceea ce trebuie să spună despre infinități superioare, care pot să nu fie realizabile în lumea fizică.

Aritmetica euclidiană dezvoltată de John Penn Mayberry în cartea sa The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets intră și în tradiția realistă aristotelică. Mayberry, în urma lui Euclid, consideră că numerele sunt doar „multitudini de unități definite” realizate în natură – cum ar fi „membrii Orchestrei Simfonice din Londra” sau „copacii din lemnul Birnam”. Dacă există sau nu numeroase categorii de unități pentru care Noțiunea comună 5 a lui Euclid (Întregul este mai mare decât partea) eșuează și care, în consecință, ar fi socotite ca infinite, este pentru Mayberry, în esență, o întrebare despre Natură și neimplicând nicio presupunere transcendentală.

Psihologism

Psihologismul în filosofia matematicii este poziția pe care sunt fundamentate conceptele și / sau adevărurile matematice, derivate sau explicate prin fapte (sau legi) psihologice.

John Stuart Mill pare a fi un avocat al unui tip de psihologism logic, așa cum au fost mulți logicieni germani din secolul al XIX-lea, precum Sigwart și Erdmann, precum și o serie de psihologi, trecuți și prezenți: de exemplu, Gustave Le Bon. Psihologismul a fost celebru criticat de Frege în „The Foundations of Arithmetic” și în multe dintre lucrările și eseurile sale, inclusiv recenzia sa despre Filosofia aritmetică a lui Husserl. Edmund Husserl, în primul volum al investigațiilor sale logice, numit „Prolegomena logicii pure”, a criticat temeinic psihologia și a căutat să se distanțeze de el. „Prolegomena” este considerată o refutare mai concisă, mai corectă și completă a psihologismului decât criticile făcute de Frege și, de asemenea, este considerată astăzi de mulți drept o refutare memorabilă pentru lovitura sa decisivă pentru psihologism. Psihologismul a fost criticat și de Charles Sanders Peirce și Maurice Merleau-Ponty.

Empirism

Empirismul matematic este o formă de realism care neagă faptul că matematica nu poate fi cunoscută deloc a priori. Se spune că descoperim fapte matematice prin cercetare empirică, la fel ca fapte din oricare dintre celelalte științe. Nu este una dintre cele trei poziții clasice susținute la începutul secolului XX, ci a apărut în primul rând la mijlocul secolului. Cu toate acestea, un important promotor timpuriu al unui punct de vedere ca acesta a fost John Stuart Mill. Opinia lui Mill a fost criticată pe larg, pentru că, potrivit criticilor, precum A.J. Ayer, face ca afirmații de genul „2 + 2 = 4” să apară ca adevăruri incerte, contingente, pe care nu le putem învăța decât observând instanțele a două perechi care se reunesc și formează un cvartet.

Empirismul matematic contemporan, formulat de W. V. O. Quine și Hilary Putnam, este susținut în primul rând de argumentul indispensabilității: matematica este indispensabilă tuturor științelor empirice și, dacă vrem să credem în realitatea fenomenelor descrise de științe, ar trebui să credem și în realitatea acelor entități necesare pentru această descriere. Adică, din moment ce fizica trebuie să vorbească despre electroni pentru a spune de ce becurile se comportă așa cum o fac, atunci trebuie să existe electroni. Deoarece fizica trebuie să vorbească despre numere pentru a oferi oricare dintre explicațiile sale, atunci numerele trebuie să existe. În conformitate cu filozofiile generale ale lui Quine și Putnam, acesta este un argument naturalist. Acesta susține existența entităților matematice ca cea mai bună explicație pentru experiență, eliminând astfel matematica de a fi distincte de celelalte științe.

Putnam a respins cu putere termenul „platonist” ca implicând o ontologie supra-specifică care nu era necesară practicii matematice într-un sens real. El a susținut o formă de „realism pur” care a respins noțiunile mistice de adevăr și a acceptat mult cvasi-empirism în matematică. Acest lucru a pornit de la afirmația din ce în ce mai populară de la sfârșitul secolului XX că nicio bază a matematicii nu s-ar putea dovedi că există. Se mai numește uneori „postmodernism în matematică”, deși acest termen este considerat supraapreciat de unii și insultat de alții. Cvasi-empirismul susține că, în realizarea cercetărilor lor, matematicienii testează ipoteze, precum și demonstrează teoreme. Un argument matematic poate transmite falsitatea de la concluzie la premise la fel de bine precum și poate transmite adevărul de la premise la concluzie. Putnam a susținut că orice teorie a realismului matematic ar include metode cvasi-empirice. El a propus că o specie extraterestră care face matematică s-ar putea baza foarte bine pe metode cvasi-empirice în primul rând, fiind dispusă să renunțe adesea la dovezi riguroase și axiomatice și să facă totuși matematici – cu un risc probabil oarecum mai mare de eșec al calculelor lor. A prezentat un argument detaliat în acest sens în Noi direcții. Cvasi-empirismul a fost dezvoltat și de Imre Lakatos.

Cea mai importantă critică a viziunilor empirice ale matematicii este aproximativ aceeași cu cea ridicată împotriva lui Mill. Dacă matematica este la fel de empirică ca și celelalte științe, atunci aceasta sugerează că rezultatele ei sunt la fel de falibile ca ale lor și la fel de contingente. În cazul lui Mill, justificarea empirică vine direct, în timp ce în cazul lui Quine vine indirect, prin coerența teoriei noastre științifice în ansamblu, adică consiliența după E. O. Wilson. Quine sugerează că matematica pare complet sigură, deoarece rolul pe care îl joacă în rețeaua noastră de credințe este extraordinar de centrală și că ne-ar fi extrem de dificil să o revizuim, deși nu este imposibil.

Ficționalism

Ficționalismul matematic a fost făcut faimos în 1980, când Hartry Field a publicat Science Without Numbers, care a respins și, de fapt, a inversat argumentul indispensabil al lui Quine. În cazul în care Quine a sugerat că matematica era indispensabilă pentru cele mai bune teorii ale noastre științifice și, prin urmare, ar trebui să fie acceptată ca un corp de adevăruri care vorbește despre entități existente în mod independent, Field a sugerat că matematica era dispensabilă și, prin urmare, ar trebui considerată ca un corp de falsuri care nu vorbesc despre nimic real. El a făcut acest lucru dând o axiomatizare completă a mecanicii newtoniene, fără nicio referire la numere sau funcții. A început cu „întrețimea” axiomelor lui Hilbert de a caracteriza spațiul fără a-l coordona și apoi a adăugat relații suplimentare între puncte pentru a face lucrarea făcută anterior de câmpurile vectoriale. Geometria lui Hilbert este matematică, deoarece se vorbește despre puncte abstracte, dar în teoria lui Field, aceste puncte sunt punctele concrete ale spațiului fizic, deci nu sunt necesare obiecte matematice speciale.

După ce a arătat cum să se facă știința fără a utiliza numere, Field a procedat la reabilitarea matematicii ca un fel de ficțiune utilă. El a arătat că fizica matematică este o extensie conservatoare a fizicii sale non-matematice (adică, fiecare fapt fizic doveditor în fizica matematică este deja probabil din sistemul lui Field), astfel încât matematica este un proces de încredere ale cărui aplicații fizice sunt toate adevărate, chiar dacă propriile sale afirmații sunt false. Astfel, atunci când facem matematică, ne putem vedea ca spunând un fel de poveste, vorbind ca și cum ar exista numere. Pentru Field, o afirmație de genul „2 + 2 = 4” este la fel de fictivă ca „Sherlock Holmes locuia pe strada Baker 221B” – dar ambele sunt adevărate în conformitate cu ficțiunile relevante.

Prin această relatare, nu există probleme metafizice sau epistemologice speciale matematicii. Singurele griji rămase sunt grijile generale legate de fizica non-matematică și despre ficțiune în general. Abordarea lui Field a fost foarte influentă, dar este respinsă pe scară largă. Acest lucru se datorează parțial datorită cerinței unor fragmente puternice de logică de ordinul al doilea pentru a se efectua reducerea, și pentru că afirmația de conservativitate pare să necesite cuantificări asupra modelelor sau deducțiilor abstracte.

Constructivism social

Constructivismul social vede matematica în primul rând ca o construcție socială, ca un produs al culturii, supus corecției și schimbării. Ca și celelalte științe, matematica este privită ca un efort empiric ale cărui rezultate sunt evaluate constant și pot fi aruncate. Cu toate acestea, în timp ce pe o perspectivă empiristă, evaluarea este un fel de comparație cu „realitatea”, constructiviștii sociali subliniază că direcția cercetării matematice este dictată de modurile grupului social care o realizează sau de nevoile societății care o finanțează. Cu toate acestea, deși astfel de forțe externe pot schimba direcția unor cercetări matematice, există constrângeri interne puternice – tradițiile, metodele, problemele, semnificațiile și valorile matematice în care sunt înculturați matematicienii – care lucrează pentru conservarea disciplinei definite istoric.

Acest lucru contravine convingerilor tradiționale ale matematicienilor, că matematica este oarecum pură sau obiectivă. Constructiviștii sociali susțin însă că matematica este de fapt bazată pe multă incertitudine: pe măsură ce practica matematică evoluează, starea matematicii anterioare este pusă la îndoială și este corectată în măsura în care este cerută sau dorită de comunitatea matematică actuală. Acest lucru poate fi observat în dezvoltarea analizei din reexaminarea calculului Leibniz și Newton. Aceștia susțin în plus că matematicii finalizate îi este adesea acordat prea mult statut, iar matematica populară nu este suficientă, din cauza unei supraaccenturăi pe dovada axiomatică și revizuirea colegilor ca practici.

Natura socială a matematicii este evidențiată în subculturile sale. Descoperiri majore pot fi făcute într-o ramură a matematicii și pot fi relevante pentru alta, dar relația este nedescoperită din cauza lipsei de contact social între matematicieni. Constructiviștii sociali susțin că fiecare specialitate își formează propria comunitate epistemică și adesea are mari dificultăți în comunicare sau motivează investigarea unificării conjecturilor care ar putea lega diferite domenii ale matematicii. Constructiviștii sociali consideră procesul „a face matematica” ca de fapt crearea sensului, în timp ce realiștii sociali văd o deficiență fie a capacității umane de a abstractiza, fie a prejudecății cognitive a omului, fie a inteligenței colective a matematicienilor ca fiind împiedicarea înțelegerii unui univers real al obiecte matematice. Constructiviștii sociali resping uneori căutarea fundamentelor matematicii ca fiind eșuate, ca inutile sau chiar lipsite de sens.

Imre Lakatos și Thomas Tymoczko și-au adus contribuții la această școală, deși nu este clar că oricare ar susține titlul. Mai recent, Paul Ernest a formulat în mod explicit o filozofie constructivistă socială a matematicii. Unii consideră că opera lui Paul Erdős în ansamblu a avansat această părere (deși a respins-o personal) din cauza colaborărilor sale unic largi, ceea ce i-a determinat pe alții să vadă și să studieze „matematica ca activitate socială”, de exemplu, prin intermediul numărului Erdős. Reuben Hersh a promovat și viziunea socială a matematicii, numind-o o abordare „umanistă”, asemănătoare, dar nu chiar aceeași cu cea asociată cu Alvin White; unul dintre coautorii lui Hersh, Philip J. Davis, și-a exprimat simpatia și pentru viziunea socială.

Dincolo de școlile tradiționale

Eficiența nerezonabilă

În loc să se concentreze pe dezbateri înguste despre adevărata natură a adevărului matematic sau chiar pe practici unice pentru matematicieni cum ar fi dovada, o mișcare în creștere din anii 1960 până în anii 90 a început să pună la îndoială ideea de a căuta fundații sau de a găsi orice răspuns corect la de ce funcționează matematica. Punctul de plecare pentru aceasta a fost celebra lucrare din 1960 a lui Eugenie Wigner „Efectul nerezonabil al matematicii în științele naturii”, în care a susținut că coincidența fericită a matematicii și fizicii fiind atât de bine asortată părea a fi nerezonabilă și greu de explicat.

Cele două sensuri ale lui Popper ale enunțurilor numerice

Teoriile realiste și constructiviste sunt în mod normal considerate contrarii. Cu toate acestea, Karl Popper a susținut că poate fi considerată în două sensuri o afirmație numerică precum „2 mere + 2 mere = 4 mere”. Într-un anumit sens, este irefutabil și logic adevărat. În al doilea sens, este adevărat și falsificabil. Un alt mod de a spune acest lucru este de a spune că o declarație cu un singur număr poate exprima două propoziții: una dintre ele putând fi explicată pe linii constructiviste; cealaltă pe linii realiste.

Filosofia limbajului

Inovațiile în filozofia limbajului din secolul XX au reînnoit interesul pentru faptul că matematica este, cum se spune adesea, limba științei. Deși unii matematicieni și filozofi ar accepta afirmația „matematica este o limbă”, lingviștii consideră că implicațiile unei astfel de afirmații trebuie luate în considerare. De exemplu, instrumentele lingvistice nu sunt aplicate în general sistemelor de simboluri ale matematicii, adică matematica este studiată într-un mod semnificativ diferit față de alte limbi. Dacă matematica este o limbă, este un tip de limbă diferit de cel natural. Într-adevăr, din cauza necesității de claritate și specificitate, limba matematică este mult mai restrânsă decât limbajele naturale studiate de lingviști. Cu toate acestea, metodele dezvoltate de Frege și Tarski pentru studiul limbajului matematic au fost extinse foarte mult de către studentul lui Tarski, Richard Montague, și alți lingviști care lucrează în semantica formală pentru a arăta că distincția dintre limbajul matematic și limbajul natural poate să nu fie la fel de mare pe cât pare .

Mohan Ganesalingam a analizat limbajul matematic folosind instrumente din lingvistica formală. Ganesalingam observă că unele caracteristici ale limbajului natural nu sunt necesare atunci când se analizează limbajul matematic (cum ar fi tensiunea), dar multe dintre aceleași instrumente analitice pot fi utilizate (cum ar fi gramatici fără context). O diferență importantă este că obiectele matematice au tipuri clar definite, care pot fi definite în mod explicit într-un text: „Efectiv, avem voie să introducem un cuvânt într-o parte a unei propoziții și să-i declaram partea de vorbire într-o alta; și această operațiune nu are analogie în limbajul natural”.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *