» » » » » » Teorema Ehrenfest și limita clasică a mecanicii cuantice

Teorema Ehrenfest și limita clasică a mecanicii cuantice

Teorema Ehrenfest, numită după Paul Ehrenfest, un fizician teoretician  austriac la Universitatea Leiden, relaționează derivarea temporală a valorilor așteptărilor operatorilor de poziție x și și impuls p cu valoarea așteptărilor forței F = – V'(x) pe o particulă masivă care se deplasează într-un potențial scalar,

Teorema Ehrenfest

Deși, la prima vedere, s-ar părea că teorema Ehrenfest spune că valorile așteptărilor mecanicii cuantice respectă ecuațiile clasice ale mișcării lui Newton, în fapt nu este așa. Dacă perechea (<x>, <p>) trebuie să respecte a doua lege a lui Newton, partea dreaptă a celei de-a doua ecuații ar trebui să fie -V'(<x>), care de obicei nu este același cu <V'(x)>. Dacă, de exemplu, potențialul V este cubic, atunci V’ este quadratic, caz în care vorbim despre distincția dintre <x2> și <x>2. Diferența dintre aceste două cantități este pătratul incertitudinii în x și, prin urmare, este nenul.

Excepția apare în cazul în care ecuațiile clasice ale mișcării sunt lineare, adică atunci când V este patratică și V’ este liniară. În acel caz special, V'(<x>) și <V'(x)> sunt în acord. Astfel, în cazul unui oscilator cuantic armonic, poziția așteptată și impulsul așteptat urmează exact traiectoriile clasice.

Pentru sistemele generale, dacă funcția de undă este concentrată puternic în jurul unui punct x0, atunci V ‘(<x>) și <V'(x)> vor fi aproape aceleași, deoarece ambele vor fi aproximativ egale cu V'(x0). În acest caz, poziția așteptată și impulsul așteptat vor urma aproximativ traiectoriile clasice, cel puțin atâta timp cât funcția de undă rămâne foarte localizată în poziție.

Teorema Ehrenfest este un caz special al unei relații mai generale între așteptarea oricărui operator mecanic cuantic și așteptarea comutatorului acelui operator cu sistemul hamiltonian al sistemului

Teorema Ehrenfest

unde A este un operator mecanic cuantic și <A> este valoarea așteptării sale. Această teoremă mai generală nu a fost de fapt derivată de Ehrenfest (se datorează lui Werner Heisenberg).

Este cel mai evident în reprezentarea lui Heisenberg a mecanicii cuantice, unde este doar valoarea așteptărilor ecuației de mișcare Heisenberg. Oferă suport matematic principiului corespondenței.

Motivul este că teorema Ehrenfest este strâns legată de teorema Liouville a mecanicii hamiltoniene, care implică paranteza Poisson în locul unui comutator. Regula de bază a lui Dirac sugerează că afirmațiile din mecanica cuantică care conțin un comutator corespund cu afirmațiile din mecanica clasică unde comutatorul este înlocuit cu o paranteză Poisson înmulțită cu . Acest lucru face ca valorile așteptărilor operatorului să respecte ecuațiile clasice de mișcare corespunzătoare, cu condiția ca hamiltonianul să fie cel mai pătratic în coordonate și impuls. În caz contrar, ecuațiile de evoluție rămân în continuare aproximative, cu condiția ca fluctuațiile să fie mici.

Ecuația Schrödinger a fost derivată din teoremele Ehrenfest prin asumarea relației canonice de comutare între coordonate și impuls. Dacă se presupune că coordonatele și impulsul comută, aceeași metodă computațională duce la mecanica clasică Koopman-von Neumann, care este formularea spațiului Hilbert a mecanicii clasice. Prin urmare, această derivare, precum și derivarea mecanicii Koopman-von Neumann, arată că diferența esențială dintre mecanica cuantică și cea clasică se reduce la valoarea comutatorului [x̂, p̂].

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *