» » » » » » » Teoria câmpului cuantic

Teoria câmpului cuantic

Feynmann_Diagram_Gluon_Radiation
(Diagrama Feynmann pentru radiaţia gluonilor)

Teoria câmpului cuantic face legătura între mecanica cuantică şi câmpuri. Aceasta oferă un cadru teoretic utilizat pe scară largă în fizica particulelor și fizica materiei condensate. În particular, teoria cuantică a câmpului electromagnetic, cunoscută sub numele de electrodinamica cuantică, este una dintre teoriile cele mai bine testate și de succes în fizică. Elementele fundamentale ale teoriei cuantice a câmpului s-au dezvoltat între 1920 și 1950, în special prin Dirac, Pauli, Tomonaga, Schwinger, Feynman, și Dyson.

Probleme ale mecanicii cuantice obișnuite

Teoria câmpului cuantic corectează o serie de deficiențe ale mecanicii cuantice obișnuite, pe care le vom discuta pe scurt. Ecuația Schrödinger, în forma sa cea mai frecvent întâlnită, este

5bc8442085bb9a96a26a19ca47cd373d

unde Ψ este funcţia de undă a unei particule, m masa, și V o energie potențială aplicată.

Există două probleme cu această ecuație. În primul rând, nu este relativistă, reducându-se la mecanica clasică, mai degrabă decât mecanicii relativistă în limita corespondentă. Pentru a arăta aceasta, trebuie notat că primul termen din stânga este energia cinetică clasică p²/2m, cu mc²  energia de repaus. Este posibil să se modifice ecuația Schrödinger pentru includerea energiei de repaus, rezultând ecuația Klein-Gordon sau ecuația Dirac. Cu toate acestea, aceste ecuații au multe caracteristici nesatisfăcătoare. De exemplu, ele posedă spectre de energie care se extind spre – ∞, astfel încât nu există nicio stare fundamentală. Astfel de neconcordanțe apar deoarece aceste ecuații neglijează posibilitatea de a crea sau distruge dinamic particule, care este un aspect crucial al relativității. Celebrul raport masă-energie al lui Einstein prezice că particulele suficient de masive se pot descompune în mai multe particule mai ușoare, și că particule cu suficientăenergie se pot combina pentru a forma particule masive. De exemplu, un electron și un pozitron se pot anihila reciproc pentru a crea fotoni. Astfel de procese trebuie să fie contabilizate într-o teorie cuantică relativistă adevărată.

A doua problemă apare atunci când căutăm să extindă ecuația pentru un număr mare de particule.S-a descoperit că particulele cuantice din aceeași specie sunt imposibil de distins, în sensul că funcţia de undă a întregului sistem trebuie să fie simetrică (bosoni) sau antisimetrică (fermioni), atunci când coordonatele particulelor constituente sunt schimbate. Acest lucru face ca funcţia de undă a sistemelor cu multe particule să fie extrem de complicată. De exemplu, funvţia undă generală a unui sistem de N bosoni este scrisă ca

6492fb1b0fad5afeb417335b5d1bccb1

unde ri sunt coordonatele particulei a i-lea, φi sunt funcţiile de undă ale unei singure particule, iar suma rezultă din toate permutarile posibile ale elementelor p. În general, aceasta este o sumă de N! (N factoriale) termeni distincţi, care devine rapid imposibil de gestionat cu cât N crește.

Câmpuri cuantice

Ambele probleme de mai sus sunt rezolvate prin mutarea atenției de la un set de particule indestructibile la un câmp cuantic. Procedura prin care câmpurile cuantice sunt construite din particule individuale, a fost introdusă de către Dirac, și este (din motive istorice), cunoscută sub numele de a doua cuantificare.

Trebuie să menționăm două posibile confuzii. În primul rând, „câmpul” și „particula” descrise menționate mai sus nu se referă la dualitatea undă-particulă. Prin „particule”, ne referim la entităţi care posedă de obicei proprietăți atât de undă cât şi de particulă punctuală în sensul mecanicii cuantice. De exemplu, aceste „particule” nu sunt, în general, plasate într-un punct fix, ci au o anumită probabilitate de a fi găsite în fiecare poziție în spațiu. Ceea ce numim „câmp” este o entitate existentă în fiecare punct din spațiu, care reglementează crearea și anihilarea particulelor. În al doilea rând, teoria câmpului cuantic este, în esență, mecanica cuantică, și nu un înlocuitor al mecanicii cuantice. Ca orice sistem cuantic, un câmp cuantic are un Hamiltonian H (deși unul care este mult mai complicat decât Hamiltonianul tipic pentru o singură particulă), și se supune de obicei ecuației Schrödinger

c3ba45f67ef88a3722a352da6575b801

(Teoria câmpului cuantic este deseori formulat în termeni Lagrange, cu care se lucrează mai convenabil. Cu toate acestea, formulările Lagrange și hamiltoniene sunt considerate a fi echivalente.)

În a doua cuantificare, vom face uz de particule care nu se pot distinge prin specificarea funcţiilor de undă multi-particule în termeni de numere de ocupare pentru o singură particulă. De exemplu, să presupunem că avem un sistem de N bosoni care pot ocupa diferite stări de particule singulare φ1, φ2, φ3, și așa mai departe. Metoda obișnuită de a scrie o funcție de undă multi-particulă este de a atribui o stare fiecărei particuleă și apoi să se impună schimbul de simetrie. După cum am văzut, funcţia de undă rezultată este o sumă masivă de N! termeni. În cea de a doua abordare cuantificată, am lista pur și simplu numărul de particule în fiecare dintre stările uni-particule, cu înțelegerea că funcţia de undă multi-particulă este simetrică. Mai exact, presupunem că N = 3, cu o particulă în starea φ1 și două în starea φ2. Modul normal de scriere a funcţiei de undă este

833350313ed2b1360d056ca0cb7d768c

în timp ce în a doua formă cuantificată este pur și simplu

1aad12d9687101ed4b98f339327ae210

Deși diferența este în întregime notaţională, această din urmă formă face extrem de ușor de definit operatorii de creare și anihilare, care adaugă și scad particule din stările multi-particule. Acești operatori de creare și anihilare sunt foarte asemănători cu cei definiţi pentru oscilatorul armonic cuantic, care adaugă și scad cuante de energie. Oricum, acești operatori crează și anihilează literalmente particule cu o stare cuantică dată. De exemplu, operatorul de anihilare a2 are următoarele efecte:

ec50a0053af6c2820dc9f5203a8cfdfb

98e5944462c53c8f05d82f86de15a5ab

8afa4635bacc7439a259a61db5909fd5

(Factorul √2 din prima linie normalizează funcţia undă, și nu este importantă.)

În cele din urmă, vom introduce operatori de câmp care definesc probabilitatea de a crea sau de a distruge o particulă într-un anumit punct în spațiu. Se pare că funcțiile de undă pentru o singură particulă sunt de obicei enumerate în funcție de momentele lor (ca în problema particulei într-o cutie), astfel încât operatorii de câmp pot fi construiţi prin aplicarea transformatei Fourier a operatorilor de creare și anihilare. De exemplu, operatorul de anihilare φ (r) al câmpului bosonic (care nu trebuie să fie confundată cu funcţia undă) este

22d0b086dc44a7673d80558b5a2d85f6

În teoriile câmpului cuantic, Hamiltonieni sunt scrişi în termeni fie de operatorii de creare și de anihilar, fie, echivalent, de operatorii de câmp. Prima practică este mai frecventă în fizica materiei condensate, în timp ce cea din urmă este mai frecventă în fizica particulelor, deoarece ea lucrează mai ușor cu relativitatea. Un exemplu de Hamiltonian scris în termeni de operatori de creare și anihilare este

1e897a29c3526ae38a6786d937dce903

Aceasta descrie un câmp de bosoni liberi (care nu interacționează), unde Ek este energia cinetică a celui de al k-lea mod de impuls. De fapt, acest Hamiltonian este util pentru descrierea fononilor care nu interacționează.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *