» » » » » » Teoria perturbației în mecanica cuantică

Teoria perturbației în mecanica cuantică

În mecanica cuantică, teoria perturbației este un set de scheme de aproximare direct legate de o perturbație matematică pentru a descrie un sistem cuantic complicat în termeni mai simpli. Ideea este să începem cu un sistem simplu pentru care este cunoscută o soluție matematică și să adăugăm un Hamiltonian suplimentar „perturbator”, reprezentând o perturbație slabă a sistemului. Dacă perturbațiea nu este prea mare, diferitele cantități fizice asociate cu sistemul perturbat (de exemplu, nivelurile de energie și stările proprii) pot fi exprimate drept „corecții” cu cele ale sistemului simplu. Aceste corecții, care sunt mici în comparație cu mărimea cantităților în sine, pot fi calculate folosind metode aproximative, cum ar fi seriile asimptotice. Sistemul complicat poate fi, prin urmare, studiat pe baza cunoașterii celui mai simplu. În realitate, se descrie un sistem complicat nerezolvat folosind un sistem simplu, rezolvat.

Hamiltonieni aproximați

Teoria perturbației este un instrument important pentru descrierea sistemelor cuantice reale, deoarece se dovedește a fi foarte dificil să se găsească soluții exacte pentru ecuația lui Schrödinger pentru hamiltonieni de complexitate chiar și moderată. Hamiltonienii, cărora le cunoaștem soluțiile exacte, cum ar fi atomul de hidrogen, oscilatorul cuantic armonic și particula într-o cutie, sunt prea idealizați pentru a descrie în mod adecvat majoritatea sistemelor. Folosind teoria perturbației, putem folosi soluțiile cunoscute ale acestor hamiltonieni simpli pentru a genera soluții pentru o serie de sisteme mai complicate.

Aplicarea teoriei perturbației

Teoria perturbației este aplicabilă dacă problema la îndemână nu poate fi rezolvată exact, dar poate fi formulată prin adăugarea unui termen „mic” la descrierea matematică a problemei care este exact rezolvabilă.

De exemplu, prin adăugarea unui potențial electric perturbativ la modelul mecanic cuantic al atomului de hidrogen, pot fi calculate mici schimbări în liniile spectrale ale hidrogenului determinate de prezența unui câmp electric. Aceasta este doar aproximativă deoarece suma unui potențial Coulomb cu un potențial liniar este instabilă, deși timpul de tunel este foarte lung. Această instabilitate apare ca o extindere a liniilor spectrului de energie, pe care teoria perturbației nu o reproduce în totalitate.

Expresiile produse de teoria perturbației nu sunt exacte, dar pot conduce la rezultate exacte atâta timp cât parametrul de expansiune, să spunem a, este foarte mic. În mod tipic, rezultatele sunt exprimate în termeni de serii de putere finită în α care par să conveargă la valorile exacte atunci când sunt însumate la ordinea superioară. După o anumită ordine n ~ 1/α totuși, rezultatele devin din ce în ce mai proaste, de vreme ce seriile sunt de obicei divergente (fiind serii asimptotice). Există modalități de a le converti în serii convergente, care pot fi evaluate pentru parametrii de extindere mai mare, cel mai eficient prin metoda variațională.

În teoria electrodinamicii cuantice, în care interacțiunea electron-foton este tratată perturbativ, calculul momentului magnetic al electronului a fost găsit pentru acest experiment, ca fiind în acord cu unsprezece zecimale. În electrodinamica cuantică și în alte teorii ale câmpului cuantic, tehnicile de calcul speciale, cunoscute sub numele de diagrame Feynman, sunt utilizate pentru a însuma sistematic termenii seriilor de putere.

Limitări
Perturbații mari

În anumite circumstanțe, teoria perturbației este o abordare nevalidă. Acest lucru se întâmplă atunci când sistemul pe care dorim să îl descriem nu poate fi descris de o mică perturbație impusă unui sistem simplu. În cromodinamica cuantică, de exemplu, interacțiunea dintre cuarci cu câmpul gluonic nu poate fi tratată perturbativ la energii joase deoarece constanta de cuplaj (parametrul de expansiune) devine prea mare.

Stările non-adiabatice

Teoria perturbației nu reușește, de asemenea, să descrie stări care nu sunt generate adiabatic din „modelul liber”, incluzând stări legate și diverse fenomene colective, cum ar fi solitonii. Imaginați-vă, de exemplu, că avem un sistem de particule libere (adică neinteractive), la care se introduce o interacțiune atractivă. În funcție de forma interacțiunii, aceasta poate crea un set complet nou de stări proprii care corespunde grupurilor de particule legate una de cealaltă. Un exemplu al acestui fenomen poate fi găsit în superconductivitatea convențională, în care atracția mediată de fonon între electronii de conducție duce la formarea de perechi de electroni corelate cunoscute sub numele de perechi Cooper. Când se confruntă cu astfel de sisteme, se trece de obicei la alte scheme de aproximare, cum ar fi metoda variațională și aproximarea WKB. Acest lucru se datorează faptului că nu există nici un analog al unei particule legate în modelul neperturbat, iar energia unui soliton este în mod obișnuit inversul parametrului de expansiune. Totuși, dacă „integram” peste fenomenele solitonice, corecțiile neperturbatoare în acest caz vor fi mici; de ordinul exp(-1/g) sau exp(-1/g2) în parametrul perturbației g. Teoria perturbațiilor poate detecta numai soluții „aproapiate“ de soluția neperturbată, chiar dacă există alte soluții pentru care expansiunea perturbativă nu este validă.

Computerizarea dificultăților

Problema sistemelor non-perturbative a fost oarecum atenuată de apariția computerelor moderne. A devenit practic să se obțină soluții numerice non-perturbative pentru anumite probleme utilizând metode precum teoria funcțională a densității. Aceste progrese au avut un beneficiu deosebit în domeniul chimiei cuantice. De asemenea, calculatoarele au fost folosite pentru a efectua calcule în teoria perturbațiilor la niveluri extrem de ridicate de precizie, care s-a dovedit importantă în fizica particulelor pentru generarea de rezultate teoretice care pot fi comparate cu experimentul.

Teoria perturbației independente de timp

Teoria perturbației independente de timp este una din cele două categorii ale teoriei perturbației, cealaltă fiind perturbația dependentă de timp. În teoria perturbației independente de timp, perturbația hamiltoniană este statică (adică nu are dependență de timp). Teoria perturbației independente de timp a fost prezentată de Erwin Schrödinger într-o lucrare din 1926, la scurt timp după ce a produs teoriile sale în mecanica ondulatorie. În această lucrare, Schrödinger s-a referit la lucrarea anterioară a Lordului Rayleigh, care a investigat vibrațiile armonice ale unui șir perturbat de mici neomogenități. De aceea, această teorie a perturbației este adesea menționată ca teoria perturbației lui Rayleigh-Schrödinger.

Corecții de ordinul întâi

Schimbarea de ordinul întâi în cel de-al n-lea eigenket de energie are o contribuție din partea fiecărei stări proprii energetice la k ≠ n. Fiecare termen este proporțional cu elementul de matrice  care este o măsură a cât de mult perturbarea amestecă starea proprie n cu starea proprie k; este, de asemenea, invers proporțional cu diferența de energie dintre stările proprii k și n, ceea ce înseamnă că perturbația deformează starea proprie într-o măsură mai mare dacă există mai multe stări proprii la energiile din apropiere. De asemenea, expresia este singulară dacă oricare dintre aceste stări are aceeași energie ca starea n, motiv pentru care presupunem că nu există degenerare.

Efectele degenerării

Să presupunem că au degenerat două sau mai multe stări proprii energetice. Schimbarea energiei de ordinul întâi nu este bine definită, deoarece nu există o modalitate unică de a alege o bază de stare proprie pentru sistemul neperturbat. Diferitele stări proprii pentru o anumită energie vor perturba cu diferite energii sau ar putea să nu aibă nicio familie continuă de perturbații. Acest lucru se reflectă în calcularea stării proprii perturbate prin faptul că operatorul

En(0) – H0

nu are o inversare bine definită.

Stările aproape degenerate ar trebui, de asemenea, tratate în modul de mai sus, deoarece hamiltonianul original nu va fi mai mare decât perturbarea din subspațiul aproape degenerat. O aplicație se găsește în modelul de electroni aproape liberi, unde degenerarea apropiată, tratată corect, conduce la un decalaj energetic chiar și pentru perturbații mici. Alte stări proprii vor schimba simultan energia absolută a tuturor stărilor aproape degenerate.

Teoria perturbației dependente de timp

Metoda variației constantelor

Teoria perturbației dependente de timp, dezvoltată de Paul Dirac, studiază efectul unei perturbații V(t) dependente de timp, aplicată unei hamiltonian H0 independent de timp.

Deoarece hamiltonianul perturbat este dependent de timp, la fel și nivelurile sale de energie și stări proprii. Astfel, scopurile teoriei perturbației dependente de timp sunt puțin diferite de teoria perturbației independente de timp. Una este interesată de următoarele cantități:

  • Valoarea de așteptare dependentă de timp a unor observabile A, pentru o stare inițială dată.
  • Amplitudinea dependentă de timp a acelor stări cuantice care sunt eigenket (vectori proprii) de energie în sistemul neperturbat.

Prima cantitate este importantă deoarece dă naștere rezultatului clasic al unei măsurători A efectuate pe un număr macroscopic de copii ale sistemului perturbat. De exemplu, am putea lua A ca fiind deplasarea în direcția x a electronului într-un atom de hidrogen, caz în care valoarea așteptată, înmulțită cu un coeficient adecvat, dă polarizarea dielectrică dependentă de timp a unui gaz hidrogen. Cu alegerea adecvată a perturbației (adică un potențial electric oscilant), aceasta permite calcularea permitivității gazului.

Cea de-a doua cantitate analizează probabilitatea de ocupare a fiecărei stări proprii în funcție de timp. Acest lucru este deosebit de util în fizica laserului, când cineva este interesat de populațiile diferitelor stări atomice într-un gaz atunci când se aplică un câmp electric dependent de timp. Aceste probabilități sunt, de asemenea, utile pentru calcularea „lărgirii cuantice” a liniilor spectrale și a degradării particulelor în fizica particulelor și fizica nucleară.

Din aceasta se obțin mai multe rezultate, cum ar fi regula de aur a lui Fermi, care corelează rata tranzițiilor dintre stările cuantice și densitatea stărilor la anumite energii; sau seria Dyson, obținută prin aplicarea metodei iterative operatorului evoluției timpului, care este unul dintre punctele de pornire pentru metoda diagramei Feynman.

Teoria perturbației puternice

În mod similar, ca și în cazul perturbațiilor mici, este posibil să se dezvolte o teorie puternică a perturbației. Să luăm în considerare, ca de obicei, ecuația lui Schrödinger

Ecuația Schrödinger dependentă de timp

și luăm în considerare întrebarea dacă există o serie duală Dyson care se aplică la limita unei perturbații din ce în ce mai mari. La această întrebare se poate răspunde într-un mod afirmativ, iar seria este bine cunoscuta serie adiabatică.

După rescalăm în timp τ = λt, putem vedea că aceasta este într-adevăr o serie în 1/λ justificând în acest fel numele seriei duale Dyson. Motivul este că am obținut această serie pur și simplu schimbând H0 și V și putem merge de la una la alta aplicând acest schimb. Acesta se numește principiul dualității în teoria perturbării. Alegerea H0 = p2/2m furnizează, așa cum s-a menționat deja, și seria Wigner-Kirkwood care este o expansiune gradient. Seria Wigner-Kirkwood este o serie semiclasică cu valori proprii date exact ca pentru aproximarea WKB.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *